12 Собственные волновые функции и собственные значения физических величин. Собственные волновые функции оператора компоненты импульса.

Совокупность значений, кот. может принимать нек. физ. величина в квант. мех. наз. спектром значений. Спектр значений может быть непрерывным, если физ. величина принимает непрерывный ряд значений(координата,скорость,потенциальная энергия), а также спектр может быть дискретным,если физ. величина принимает дискретный значения(энергия).

Cостояние системы в кот. физ. величина f принимает некоторое значение f_n (дискретный спектр),описывается волновой функцией Ψ_n. Данная волновая ф-ция наз. собственной волновой ф-цией системы.

Ур-ние для собственного значения компонент импульса

Для фиксированного моментавремени:

Разделим переменные

Интегрируем, получаем:

Ψ(x)=C

Полученная волновая функция является корд.частью волны де Бройля(т.е. частице с комп. импульса( ) соответствует плоская волна распространяющаяся в направлении оси Х).

15 Уравнение Шредингера для свободной частицы.

Свободная частица-частица на которую не действуют силы, её энергия равна 0. Потенциальная энергия- энергия взаимодействия U=0

Коэфф. приволновой ф-ции, если он положителен, обозначаем через , и в рез-те получаем то дифф. ур-ние, кот. мы должны решить.

Полученное ур-ние похоже на ур-е гармонических колебаний. Решением данного ур-ния явл-ся периодическая функция sin или cos, которая может быть задана в экспонтентациальном виде

Решением данного уравнения является функция Ψ=с

(координатная часть плоской волны)

Ψ(x,y,z,t)=

Данная функция является координатной частью плоской волны. Если домножить координ. часть на временную, т.е. на , то получим ур-е плоской волны (волны де Бройля).

16. Частица в одномерной потенциальной яме.

Иногда это трактуют как бесконечно высокий одномерный ящик.

U(0)=

U(x)=0; 0<x<

Вероятность обнаружить частицу за пределами ямы = 0

Ψ(0)=0; Ψ( )=0 – граничные условия

Ур-ние Шредингера для частицы, нах-ся в одномерной потенц. яме 0<x< имеет вид:

В стандартн. преобраз.

Получаем

Решение длинного дифф. ур-я будем искать в виде

Ψ(х)=asin(kx+δ)

Воспользуемся гармоничн. условием

Ψ(0)=0

Ψ(0)=asin (δ)=0 => (δ=0); Ψ(х)=asin(kx)

Используем втор. гранич. условие:

Ψ( )=asin(k =0;

Sin(kl)=0

k =πn (где n=±1; ±2; ±3; …..;)

Данное рав-во показывает, что к квантуется

Ψ(х)=asin( x)

Коэфф. a нах-ся из условия нормировки волновой функции

- общий вид условия нормировки волновой функции

a=

Получаем собств. волновые ф-ции

Ψ(x)=

Исходя из того, что , где n=1; 2; 3; …

xdx=P(x)

20. Линейный гармонический квантовый осциллятор

(колеблющаяся точка, совершающая гармонические колебания)

Гармонические колебания совершаются под действием квазиупругой силы F=-kx

Потенциальная энергия

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид

Данное дифференциальное уравнение имеет решение только для определенных значений энергии

v=0,1,2… где v- колебательное квантовое число

На v накладывается правило отбора оно может изменяться только на единицу: Δv=±1

В классической механике гармонический осциллятор в основном состоянии (в состоянии покоя) имеет нулевую энергию

Квантовомеханический осциллятор в основном состоянии, для которого v=0, обладает энергией, отличной от нуля, равной

Сравним квантовый осциллятор с классическим осциллятором. С точки зрения вероятности нахождения колеблющейся точки в данный момент времени в данной точке пространства