Высказывания и логика
Стандартными блоками формальной логики являются высказывания
Высказыванием называется утверждение, которое имеет значение истинности, т.е. может быть истинным (обозначается буквой И) или ложным (обозначается Л). Каждое из высказываний можно обозначить своей буквой. Пусть, например, Робозначает высказывание «земля плоская», Q– «Катя – врач» и R– «29 – простое число».
Используя такие логические операторы как не, или, и можно построить новые, составные высказывания, как комбинацию простых. Например,
(не Р) – это высказывание «земля не плоская»;
(Рили Q) – «земля плоская или Катя – врач»;
(РиQ) – «земля плоская и Катя – врач».
Отрицаниемпроизвольного высказывания Рназывается высказывание вида (не Р), чье истинностное значение строго противоположно значению Р.
Таблица.3 истинности отрицания высказывания
-
P
(не P)
И
Л
Л
И
Конъюнкцией или логическим умножениемдвух высказываний Ри Qназывают составное высказывание вида (Р иQ). Оно принимает истинное значение только в том случае, когда истинны обе его составные части.
Таблица.4 истинности конъюнкции двух высказываний
-
P
Q
(P и Q)
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Дизъюнкцией или логическим сложениемдвух высказываний Ри Qназывается составное высказывание (Р или Q). Оно истинно, если хотя бы одна из ее составных частей имеет истинное значение, что в некотором смысле также согласуется с обычным пониманием союза «или». Другими словами, (Рили Q) означает, что «или Р, или Q, или и то, и другое».
Таблица.5 истинности дизъюнкции двух высказываний
-
P
Q
(P или Q)
И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
Пример 2.3. Показать, что высказывание (не (Ри (не Q))) логически эквивалентно утверждению ((не Р) или Q).
Решение. Заполним совместную таблицу истинности (табл. 2.4) для составных высказываний:
R = (не (Р и (не Q))) и S= ((не Р) или Q).
Вспомогательные колонки 3,4,5 используются для построения обоих выражений R и S из утверждений Ри Q.
Таблица.6
-
P
Q
не P
не Q
P и (не Q)
R
S
1
2
3
4
5
6
7
И
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
И
Д
Д
Л
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
Л
И
И
Две последние колонки таблицы идентичны. Это означает, что высказывание Rлогически эквивалентно высказыванию S.
Важно понимать еще один тип логического оператора, результатом которого является условное высказывание. Пример такого высказывания: «если завтра будет суббота, то сегодня – пятница».
В логике условное высказывание «если Р, то Q» принято считать ложным только в том случае, когда предпосылка Р истинна, а заключение Qложно. В любом другом случае условное высказывание считается истинным.
Используя символ импликации «», мы пишем РQдля обозначения условного высказывания «если Р, то Q». Такая запись читается как «из Р следует Q», или «Р влечет Q», или «Р достаточно для Q», или «Q необходимо для Р».