58. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью харак­теризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определен­ную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х, p_у, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Из соотношения неопределенностей следует, что, например, если микроча­стица находится в состоянии с точным значением координаты (x = 0), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопреде­ленной (p_x  ), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта.

Невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую проекцию импульса не связана с несовершенством методов измерения или измеритель­ных приборов, а является следствием специфики микрообъектов, отражающей особен­ности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой приро­ды. Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

58. Энергетические уровни атома водорода, переходы между уровнями.

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не⁺, двукратно ионизованного лития Li⁺⁺ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1),

где r — расстояние между электроном и ядром. U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера:

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме.

1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конеч­ности и непрерывности волновой функции , только при собственных значениях энергии

т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Возможные значения Е₁, E₂, Е₃,... показаны на рис. 302 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е₁, отвечающий минимальной возможной энер­гии, — основной, все остальные (Е_n >Е₁, n = 2, 3, ...) — возбужденные. При Е<0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n= E_ = 0. При Е>0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е>0 (заштри­хована на рис. 302) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера

( ) удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным l и магнитным т_l.

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с еди­ницы: