
- •21. Функция многих переменных. Определение. Область определения. Привести примеры.
- •22. Функция многих переменных. Определение. Предел и непрерывность функции многих переменных. Кривые и поверхности разрыва.
- •23. Частные производные высших порядков функции многих переменных. Определение и символика. Привести примеры.
- •24. Дифференциал функции многих переменных. Связь дифференциала и полного приращения функции многих переменных.
- •25. Восстановление вида функции по заданному полному дифференциалу.
- •26. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Привести примеры.
- •27. Поверхности 2-го порядка . Метод параллельных сечений.
- •28. Градиент и его свойства.
- •29. Производная по направлению и ее связь с градиентом.
- •30. Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия.
- •31. Экстремум функции многих переменных. Достаточные условия.
- •32. Условный экстремум функции многих переменных. Метод Лагранжа. Геометрический смысл условного экстремума
32. Условный экстремум функции многих переменных. Метод Лагранжа. Геометрический смысл условного экстремума
Определение. Говорят, что в точке M0(x0, y0), лежащей на кривой L, функция f(x, y)
имеет условный максимум (минимум), если неравенство f(x, y)<f(x0, y0), (соответственно
f(x, y)>f(x0, y0)), выполняется во всех точках M(x, y) кривой L, принадлежащих некоторой
окрестности
точки M0(x0,
y0)
и отличных от точки M0.
Если кривая L
задана уравнением ϕ(x,
y)=0,
то задача о нахождении условного
экстремума функции z=f(x,
y)
на кривой L
– найти экстремумы функции z=f(x,
y)
в области D
при условии, что ϕ(x,
y)=0.
Таким образом, при нахождении условных
экстремумов функции z=f(x,
y)
аргументы x
и y
уже нельзя рассматривать как независимые
переменные: они связаны между собой
соотношением ϕ(x,
y)=0,
которое называют уравнением
связи. Методом множителей Лагранжа:
Пусть M0(x0, y0) есть точка
условного экстремума функции z=f(x, y) при
наличии связи ϕ(x, y)=0.Считая, что y=ψ(x),
получаем, что производная по x от функции
f(x, ψ(x)) в точке x0 должна быть равна нулю
или равносильно равен нулю дифференциал
от f(x, y) в точке М0:
из уравнения связи имеем
. Умножая последнее равенство на
неопределенный пока числовой множитель
λ и складывая почленно с равенством,
будем иметь
Предположим,
что значение множителя λ выбрано
следующим образом:
(1)(считая, что
).Тогда
в силу произвольности dx
получим
(2). Равенства (1), (2) вырожают необходимые
условия безусловного экстремума в точке
Мо(хо,уо) функции F(x,
y)=f(x,
y)+λϕ(x,
y),
которая называется
функцией Лагранжа.