29. Производная по направлению и ее связь с градиентом.

Рассмотрим в области D функцию u= u(x,y,z), непрерывная имеющая непрерывные производные и точку М(x,y,z). Проведем из точки М вектор S. На векторе на расстоянии ∆s от его начала рассмотрим точку М(х+∆х,у+∆у,z+∆z). Таким образом . Полное приращение функции где стремятся к нулю при ∆s→0. Разделим все члену равенства на ∆s: .

Очевидно что , , . Следовательно . Предел отношения при ∆s→0 называется производной от функции u= u(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора S и обозначается : . . Теорема о связи градиента и производной по направлению: Пусть дано скалярное поле u=u(x,y,z) и определено в этом скалярном поле поле градиентов . Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S. Доказательство: Рассмотрим единичный вектор соответствующий вектору S: . Вычислим скалярное произведение векторов grad u и : . Где -производная u(x,y,z) по направлению вектора S. Следовательно или . Доказана.

30. Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия.

Точка (Хо;Уо) называется точкой максимума функции z = = f ( x ; У), если существует такая D-окрестность точки (хо; Уо), что для каждой точки (Х; У), отличной от (хо; Уо), из этой окрестности вы­полняется неравенство f ( x ; У) < f(xo; уо). Аналогично определяется точки минимума функции: для всех точек (Х; у), отличных от (хо; Уо), из D-окрестности точки (хо; Уо) выполняется неравенство: f ( x ; у) > f(xo; уо). Значение функции в точке максимума (минимума) называется называют ее экстремумами. Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке

N(xo; Уо) дифференцируемая функция z = f ( x ; У) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: , : . Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производ­ных не существует. Например, функция имеет максимум в точке 0(0; О) ,но не имеет в этой точке частных производных. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f ( x ; У) равны нулю, т. е. , называется стационарной точкой функции z. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума.

31. Экстремум функции многих переменных. Достаточные условия.

Экстремум – см 30вопрос. Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (ХО Уо) и некоторой ее окрестности функция f ( x ; y ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (хо; Уо) значения , , , , . Обозначим Тогда: 1) если ∆ > О, то функция f ( x ; У) в точке (хо; Уо) имеет экстремум : максимум, если А < О; минимум, если А > О; 2) если ∆ < О, то функция f ( x ; У) в точке (хо ; Уо) экстремума не имеет. В случае А = О экстремум в точке (хо ; Уо) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.