Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Конспект лекции_ по Теории Вероятностеи_.docx
Скачиваний:
4
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
1.15 Mб
Скачать

Федеральное агентство по образованию

_________

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Курс лекций по Теории Вероятностей

Санкт-Петербург

СПбГПУ

2009

СОДЕРЖАНИЕ

Название параграфа

Стр.

Лекция 1

Предмет Теории Вероятностей

Случайные события. Основные понятия

Основные операции над множествами

Вероятность и варианты определения

Лекция 2

Основные соединения в комбинаторике

Условная вероятность

Теорема умножения вероятности

Лекция 3

Теорема умножения вероятностей для n любых событий

Независимость событий

Независимые в совокупности события

Необходимое и достаточное условие взаимной независимости n событий

Вероятность наступления хотя бы одного из независимых в совокупности событий

Лекция 4

Формула полной вероятности

Сложные испытания. Испытания по схеме Бернулли

Лекция 5

Асимптотическая формула Пуассона

Асимптотическая формула Муавра-Лапласа

Функция Лапласа и ее основные свойства. Интеграл Лапласа

Лекция 6

Случайные величины. Основные понятия и определения

Интегральная функция распределения случайной величины

Лекция 7

Законы распределения

Числовые характеристики случайных величин

Лекция 8

Начальный и центральный моменты

Связь между начальным и центральным моментами

Дисперсия и ее свойства

Среднее квадратическое отклонение

Характеристики формы кривой распределения

Лекция 9

Производящая функция

Биномиальное распределение для ДСВ

Закон распределения Пуассона

Закон геометрического распределения

Лекция 10

Нормальный закон распределения (Закон Гаусса)

Вероятность попадания нормального распределения случайной величины в интервал

Лекция 11

Закон равномерной плотности

Показательное (экспоненциальное) распределение

Лекция 12

Закон больших чисел

Сходимость по вероятности

Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева

Сущность Теоремы Чебышева

Значение Теоремы Чебышёва для практики

Теорема Бернулли

Лекция 13

Понятие о центральной предельной теореме (ЦПТ)

5

5

5

6

9

14

18

19

19

21

21

23

24

25

26

27

27

30

34

34

35

37

40

40

42

46

46

49

55

55

56

56

59

59

62

62

63

64

66

67

67

70

72

72

75

78

78

79

80

82

82

83

85

85

Лекция 1

Элементарная Теория Вероятностей

§ Предмет Теории Вероятностей

В изучении окружающей среды используются 2 метода: детерминированный способ описания, характеризующий явление в природе, обществе и вероятностный (стохастический или статистический).

Д

О

етерминированная математическая модель даёт вывод при задании всех переменных.

Вероятностная модель не даёт достоверного прогноза изучаемого явления. Выводы носят оценочный характер.

Т

О

еория Вероятностей – математическая дисциплина, изучающая математические модели случайных явлений, носящих массовый характер.

§ Случайные события. Основные понятия

Пусть проводится некоторый опыт (эксперимент, наблюдение, испытание), исход которого заранее определить нельзя.

С

О

лучайное событие (исход) – любой исход опыта, который может произойти или не произойти.

Обозначение событий: А, В, С…X, Y, Z.

Элементарный исход – любой простейший (неделимый в условиях данного опыта) исход опыта. Элементарные исходы должны удовлетворять условиям:

  1. В результате опыта обязательно должен произойти какой-то исход.

  2. Появление одного из элементарных исходов исключает появление других исходов.

  3. В рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

О

Пространство элементарных событий – множество всех элементарных событий, связанных с данным опытом. Обозначение: Ω (омега)

Ω отождествляется с достоверным событием, ωi Ω , где ωi - элементарный исход.

В дальнейшем события будем рассматривать, как некоторые множества, составленные из более простых событий.

§ Основные операции над множествами

М

О

ножество – любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых – элемент множества.

Обозначение: множества – А, В, С

элементы множеств – а, b, c , где а А, b B, c C.

Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента: Ø

Оно соответствует невозможному событию.

Действия над множествами будем рассматривать на диаграммах Эйлера-Венна.

Множество В называется подмножеством множества А, если все элементы множества В содержатся в элементах множества А: В А.

- т.е. появление события В влечет за собой появление события А.

Пересечением или произведением множества А и В называется множество D, состоящее из элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В:

Множества А и В называются непересекающимися (несовместными), если их пересечение равно пустому множеству:

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, входящих в одно из множеств А или В:

- Совместные события

Разность множеств А и В – множество F, состоящее из элементов, входящих в множество А и не входящих в множество В.

Противоположным событию А называется событие Ā, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А:

, Ā - дополнение множества А.

События А1, А2, А3,…Аn образуют полную группу событий, если выполняются 2 условия:

1. их попарные пересечения есть пустое множество: при любом i ≠j

2. их сумма образует достоверное событие:

§ Вероятность и варианты определения

Замечания:

  1. Появление события А обладает какой-то степенью возможности, которую можно измерить численно. Это число - и есть вероятность события.

  2. Вероятность достоверного события (которое в результате опыта происходит обязательно) равна единице.

  3. Вероятность невозможного события равна нулю.

  4. Все события возможные, но недостоверные будут иметь вероятность в пределах от нуля до единицы.