Тема: «Показатели вариации».

1. Понятие вариации, ее виды.

2. Показатели вариации.

3. Свойства дисперсии, формулы ее расчета.

4. Вариация альтернативного признака.

5. Виды дисперсий, правило сложения дисперсий, коэффициент детерминации, эмпирическое корреляционное отношение.

1. Понятие вариации, ее виды

Вариация  это различия в значениях признака и единиц совокупности.

Она складывается под влиянием различных внешних причин. Изучение вариации в статистике позволяет выявить причины, влияющие на разброс значений признака. Воздействие на эти причины позволит уменьшить вариацию.

Виды вариации:

1. вариация в пространстве – это различия в значениях признака у единиц совокупности, взятых в одно время;

2. вариация во времени – это различия в значениях признака у одной единицы совокупности в различные моменты времени.

2. Показатели вариации

Для оценки вариации в статистике применяют следующую систему показателей.

Абсолютные показатели:

1. размах вариации (R);

2. среднее линейное отклонение (ē);

3. дисперсия (σ²);

4. среднее квадратическое отклонение – СКО (σ).

Относительные показатели:

1. коэффициент осцилляции (V_R);

2. коэффициент вариации (V_δ).

1. Размах вариации — это различие между крайними значениями признака

R = X_max-X_min

Недостатки:

1. не учитывает повторяемость значения признака;

2. если крайние значения являются аномальными, то размах не дает истинной картины вариации значений.

2 . Среднее линейное отклонение — среднее абсолютное отклонение, используется при анализе ритмичности производства, равномерности поставок товаров, изучении состава работников и т. д.

3. Общепринятым показателем вариации является дисперсия.

Дисперсия — это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от своей средней. Она не имеет единиц измерения.

П ростая дисперсия:

В звешенная дисперсия:

4 . Среднеквадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии (СКО), оно характеризует средний разброс индивидуальных значений вокруг своей средней.

СКО имеет те же единицы измерения, что и признак.

5. Коэффициент осцилляции — он характеризует максимальную степень разброса индивидуальных значений вокруг средней.

V_R=R/x_ср.•100%

6. Коэффициент вариации — он характеризует среднюю степень разброса индивидуальных значений вокруг средней.

V_δ= σ /x_ср.•100%

Относительные показатели (V_R, V_δ ) используются для сравнения вариаций по различным совокупностям или по одной совокупности за разное время. V_δ используется также для характеристики однородности совокупности по данному признаку.

V_δ < 33%- совокупность однородная

V_δ≥ 33%- совокупность неоднородная

3. Свойства σ 2 и σ, формулы их расчета.

Свойства:

1. Дисперсия и СКО σ ² и σ – постоянной величины = 0.

2. Если все значения признака (x_i) уменьшить или увеличить на число а, то дисперсия и СКО σ ² и σ не изменятся.

3) Если все значения признака (x_i) умножить или разделить на число k, то σ ² изменится в k² раз, а σ – в k раз.

У прощенная формула расчета дисперсии и СКО:

Используя свойства дисперсии и СКО, можно найти дисперсию признака в интервальных рядах распределения методом моментов:

1. находим середины интервалов x_i;

2. п реобразуем данные

где А – середина интервала с наибольшей частотой,

k – ширина интервала;

3. о пределяем среднюю для преобразованных данных по формуле (1).

4. определяем начальную дисперсию по преобразованной формуле и свойству 3.

Для нормального закона распределения для показателей вариации существует взаимосвязь.

R ≈ 6 · σ σ = 1,25· l

Правило трех сигм для нормального закона распределения показывает, что в интервал (x – 3 σ, x + 3 σ) попадает 99,7% всех индивидуальных значений x_i.