1. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, вставлена таблица конечных разностей 3.1. Будем искать интерпо­ляционный многочлен в виде:

(x)= + + a₂ + … + … (3.2)

Это многочлен п-й степени. Значения коэффициентов a₀, a₁ ..., а_n найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах. Полагая х=х₀ из (3.2)находим у₀=Р_п(х₀) =а₀ , откуда а₀ = у₀. Далее, придавая х значения х₁ и х₂, последовательно получаем:

y₁ = (x₁)= + , откуда ;

y₂ = (x₂)= + , т.е.

, или = 2откуда

Далее, проведя аналогичные выкладки, можно получить:

в общем случае выражение для a_k будет иметь вид: (3.3)

Подставим теперь (3.3) в выражение для многочлена (3.2):

(x)=y₀ + + +…+ … (3.4)

Практически эта формула применяется в несколько ином виде. Положим = t, т.е. x= x₀ + ht. Тогда:

= = t – 1,

= = t – 2, и т.д.

Окончательно имеем:

(x)=(x₀ +th)=y₀ + t+ (3.5)

Формула (3.5) называется первой интерполяционной форму­лой Ньютона. Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда t мало по абсолютной величине. Первую интерполяционную формулу Ньютона называют по этой причине формулой для интерполирования вперед. За начальное значение х₀ можно принимать любое табличное значение аргумен­та х.

3.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу становиться невыгодно. В этом случае применяется формула для интерполирования назад – вторая интерполяционная формула Ньютона, которая отыскивается в виде:

(x)= + a₂ + … +

(3.5)

Как и для первой формулы Ньютона, коэффициенты a_0, a₁ , …a_n находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах: (3.6)

Подставляя (3.6) в (3.5) и переходя к переменной t = , получим окончательный вид второй интерполяционной формулы Ньютона:

(x)=(x_n + th)=y_n +t∆y_n-1 +

3. Итерационный метод интерполяции (по Эйткену)

Особенности метода.

Он позволяет определить значение функции y=f(x) в заданной точке х на сегменте [а, b], если исходный интерполяционный многочлен У_ijk, определяется парами величин (х_i, у_j), (x_j, y_j), (х_k, у_k)..., отвечающих узлам интерполяции i,j, k... Таким образом, в отличие от рассмотренных ранее методов интерполяции здесь не требуется описывать аналитически интерполяционный многочлен для интерполяции его значения в заданной точке х.

Расчетные соотношения.

В основу расчета положены интерполяционные многочлены возрастающих степеней, формируемые по итерационной схеме для следующих межузловых отрезков:

между нулевым и первым узлом

, (2.22)

где х — абсцисса искомой точки; x₀ и y₀— пара величин, отвечающая нулевой точке; x₁ и y₁ — то же для точки 1;

между первым и вторым узлом

, (2.23)

между нулевым и вторым узлом

, (2.24)

между нулевым и k-м узлом

, (2.25)