14. Моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины  называется математическое ожидание k-ой степени этой случайной величины:  a _k = M ^k.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины  называется математическое ожидание k-ой степени соответствующей центрированной величины. m _k = M( - M )^k

Заметим, начальный момент нулевого порядка равен1, математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a ₁ = M ; центральный момент нулевого порядка равен1, центральный момент первого порядка равен 0, а дисперсия - центральный момент второго порядка,  ₂ = M( - M )² = Dx

Любой центральный момент можно выразить через начальный, например- центральный момент третьего порядка:  ₃ = M( - M )³ = M( - α₁ )²  =М (³-3 α₁² +3 α₁² - α₁³ )= М³-3α₁ М² +3 α₁² М- Мα₁³ = М³-3α₁ М² +3 α₁² М- α₁³ = ₃ - 3a₁₂+3₁³-₁³=  ₃ - 3a₁₂+2₁³

Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = M , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

15. Основные дискретные распределения случайных величин.

1. Биноминальное распределение.

Рассмотрим схему Бернулли. Производится последовательность n независимых испытаний в каждом из которых возможно только 2 исхода. P(A)=p P( )=q p+q=1

Число появлений события А может принимать значения

.

Вероятность этих значений вычисляется по формуле Бернулли. .

Закон распределения дискретной св по формуле выше наз. Биноминальным.

Математич. Ожидание:

М_i=0*q+1*p=p М=М(_i) =np

Дисперсия:

М_i²=0²*q+1²*p=p D_i= М_i²- (M_i)²=p-p²=p(1-p)=pq

Так как _i независимы то D=npq и Ϭ=

2. Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона наз. Распределение вероятностей дискретной св , определяется формулой =0,1,...,m

P(=m)=P(m)= m =0,1,2...,n,…

a- параметр распределения Пуассона.

МО:

Дисперсия:

Дифференциирую левую и правую части этого тождества по а получаем:

Умножим левую и правую части на а:

=а+а²-а²=а

₌ а+а²-а²=а

3. Геометрическое распределение.

Производится последовательность независимых испытаний в каждом из которых только 2 исхода

P(A)=p P( )=q p+q=1

Испытание производится до появления события А

Возможные значения св: : 1,…м,…

Вероятности этих значений

P_m=q^m-1p

Геометрическим распределением наз распределение дискретной св, определенное формулой выше.

16. Равномерное и показательное распределение.

Относятся к непрерывным случайным величинам.

1. Равномерное. Плотность распределения

Функция распределения:

Имеет два параметра a и b

2. Показательное распределение.

Показательным, называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Имеет 1 параметр 

Функция распределения:

Характерным свойством показательного распределения является равенство матожидания и среднеквадратического отклонения:

.