43. Парная регрессия.

Пусть изучается взаимосвязь между двумя количественными признаками Х и У. Х и У могут быть независимы, связаны между собой функциональной зависимостью и корреляционной. завис-тью. При корреляции завис-ть изм-ний кажд. отд. знач-я Х необязат-но влечет за собой изм-е Y, однако изм-е привод. к изм-ю .

Завис-ть вида y=f(x)+, - ошибка оценки. Чтобы установить вид завис-ти строится поле корреляции. На ОхOу наносят координаты (x_i, y_j) и по располож-ю точек делают вывод о виде завис-ти. Пусть вид завис-ти линейный.

Коэф-ты b₀ и b₁ найдем по методу наименьш. квадратов х, у–выбор. знач-я , n–объем выборки.

теорет. знач-я y. Найдем b₀ и b₁ такие, при кот. ф-я S достиг. минимума.

Методика построения ур-я регрессии

44 .Парный коэффициент корреляции, его св-ва

Выборочным коэффициентом корреляции признаков Х и У называется величина:

.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации

.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. .

2. Если Х и Y независимы, то коэффициент корреляции равен 0.

3. Если X и Y связаны линейной зависимостью , то причем при , при .

Если , то говорят, что X и Y связаны корреляционной зависимостью, тем более тесной, чем ближе к 1. Коэффициент корреляции служит для количественной характеристики зависимости между изучаемыми признаками.

45.Проверка гипотезы о достоверности выборочного коэффиц. Коррелеляции

Пусть по выборке объема n найден выборочный коэффициент корреляции, причем . Но это еще не означает, что коэффициент корреляции генеральной совокупности будет также отличаться от нуля. Проверим нулевую гипотезу Н₀ о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности при конкурирующей гипотезе .

Если нулевая гипотеза будет отклонена, то это будет означать, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, а Х и Y коррелированны, т.е. связаны линейной корреляционной зависимостью. Если нулевая гипотеза принята, то величины не связаны линейной зависимостью.

В качестве статистики при проверке нулевой гипотезы принимается случайная величина

,

46. Критерий Манна-Уитни.

Пусть имеется две независимых выборки Х,У обьемами n₁, n₂.

Пусть по их законе распределения ничего неизвестно.

F(x)=F

G(y)=G

Поставим задачу сравнения этих ф-ций. Критерий проверки таких гипотез наз.- непараметрическим. Суть этих критериев состоит в том, что они не используют исходные количественные данные.

H₀: F(x)= G(y)

H₁: F(x)≠ G(y)

Критерий Манна-Уитни не использует количество данных, а основано на понятиях >< - оно наз. ранговым.

Две выборки Х,У объединяются в одну и упорядочиваются по возрастанию. Каждое исходное значение заменяется своим рангом – номером по порядку объединенной выборки.

R _1,i – ранг i-го значения из выборки х.

R _2,j – ранг j-го значения выборки y.

Подсчитаем сумму рангов 1 и 2 выборки:

R ₁ = ∑ R _{1,i .} R ₂ = ∑ R _2,j

Обозначим R=min { R _1, R ₂ }

Статистика Манна-Уитни имеет вид: U =R – ½* n₁ (n₁ +1), R ₁ < R _2.

MU= (n₁ * n₂)/2 DU= ((n₁ + n₂)/12 )* (n₁ * n₂ )

Распределение статистики U имеет спец. вид n₁ / n_{2 =}α< +∞, но при n₁, n_{2 →}+∞ распределение U быстро стремится к нормальному. Это сходимость настолько быстрая, что при n₁ * n₂ >8 можно пользоваться нормальным распределением при проверке H_0. В этом случае нужно сделать преобразование стандартизации для нормального распределения.

Zнабл.=(U-MU)/√DU и по табл. норм. распред. на основании выбронного ур-ния значимости нах. Zкр.

Если Zнабл< Zкр, то нет основания отвергать H_0,

Если ׀ Zнабл׀> Zкр, то отвергаем гепотизу H₀ и принимаем H₁.