Дифференциальное уравнение Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

где и – неизвестные функции от , причём считаем, что функция отлична от . Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных и .

Такое дифференциальное уравнение приходиться решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр . Тогда уравнение запишется:

Замечая, что продифференцируем обе части этого уравнения по . Пишем:

Преобразуем его в вид

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении , удовлетворяющему условию . В самом деле, при любом постоянном значении , производная тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению , то есть, , является линейной функцией от , поскольку производная , постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство значение , то есть

.

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение в виде

и будем считать , как функцию от . Тогда полученное уравнение суть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции от . Решая его, найдём

Исключая параметр из уравнений и найдём общий интеграл уравнения в виде

Дифференциальное уравнение Клеро

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда . Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра. Найдём его решение.

Положим . Тогда пишем:

Продифференцируем это уравнение по , так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что , пишем

Преобразуем его в вид

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

и

Интегрируя уравнение получим . Подставим значение в уравнение найдём его общий интеграл

С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения найдём как функцию от , затем подставим её в уравнение , то получим функцию

Которая, как легко показать, является решением уравнения . Действительно, в силу равенства находим

Но поскольку , то . Поэтому подставляя функцию в уравнение , получаем тождество

.

Решение не получается из общего интеграла ни при каком значении произвольной постоянной . Это решение — суть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра из уравнений

и

или, что без разницы, исключением из уравнений

и

Следовательно, особое решение уравнения Клеро, определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом .

11. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка. Понятие частного и общего решения ОДУ -го (второго) порядка, его частного и общего интеграла. Геометрический смысл ОДУ второго порядка, разрешенного относительно старшей производной.

Уравнение вида

называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением этого уравнения является произвольная функция y = y (x), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой..

Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

где — конкретные числа, то функция вида

при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант) называется общим решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим более подробно вопрос, о геометрическом истолковании уравнения второго порядка Уравнение второго порядка имеет общий вид

F (x, y, y ', y '') = 0. (8.1)

Его всегда можно переписать так:

= 0. (8.2)

Так как кривизна кривой y = y(x) в точке (x, y), то из формулы (8.2) = 0 видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

12. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

F (x, y, y ', …, y ⁽ⁿ⁾) = 0. (9.1)

Если уравнение (9.1)F (x, y, y ', …, y ⁽ⁿ⁾) = 0 разрешимо относительно старшей производной y ⁽ⁿ⁾, то оно примет вид

y ⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y ', …, y ^{(n – 1)}). (9.2)

Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида y ⁽ⁿ⁾ = f (x).

Решение дифференциального уравнения сводится к последовательному применению квадратур. Общее решение содержит n произвольных постоянных.

Уравнение вида F (x, y ', …, y ⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащее явно неизвестную функцию y.

Сделав замену y ' = z, где z = z(x), сводим данное уравнение к уравнению более низкого порядка. Решив его, заменяем z = y ' и находим y.

Уравнение вида F (x, y ^(k), y ^{(k + 1)}, …, y ⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащее явно неизвестную функцию, а также несколько ее первых производных.

Производим замену y ^(k) = z, где z = z(x). Решив полученное уравнение, заменяем z = y ^(k) и интегрированием находим y.

Уравнение вида F ( y, y ', …, y ⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащее явно независимую переменную x.

Сделав замену y ' = z, где z = z(y), получим дифференциальное уравнение (n – 1)-го порядка, связывающее y, z и производные от z по y. Например, в дифференциальном уравнении вида F ( y, y ', y '' ) делается замена y ' = z, тогда y '' = = = z.

Заменяя y ' = z, y '' = z, получим дифференциальное уравнение первого порядка F (y, z, y ', z) = 0.

13. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го (второго) порядка. Свойства решений ЛОДУ. Определитель Вронского. Теорема об определителе Вронского для линейно зависимых на функций. Теорема об определителе Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ -го (второго) порядка на функций. Фундаментальная система решений ЛОДУ -го (второго) порядка. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ -го (второго) порядка.

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что

уравнение — однородно, если .

В случае, если , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении

Теорема 1 о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство. Следствие. Если y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) - тоже частное решение этого уравнения.

Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (25). Теорема 2 Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке , то система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b). Теорема 3. Если определитель Вронского W(x) системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала. Теорема 4 Если W(x) - определитель Вронского системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) его n частных решений

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения: y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x).