Ортфель Марковица минимального риска
Задача
оптимизации портфеля активов с вектором
средней доходности 
ковариационной
матрицей 
может
быть сформулирована следующим образом
К этим условиям в задаче оптимизации портфеля активов следует добавить условие положительности портфеля (долей). Однако, в общем случае финансовых инструментов предполагается возможность открытия коротких позиций (отрицательных долей инструментов в портфеле). Тогда можно найти общее аналитическое решение задачи. Если обозначить,
то решение задачи имеет вид
Тогда зависимость дисперсии оптимизированного (эффективного) портфеля от требуемой доходности будет иметь вид
где 
—
минимально возможная дисперсия доходности
портфеля и соответствующая ему средняя
доходность
—
доходность
портфеля, с соотношением риск-доходность
таким же как и портфель минимального
риска (графически это единственная
точка пересечения с параболой прямой,
проходящей через начало координат и
вершину параболы)
[Править]Портфель Тобина минимального риска
При
наличии безрискового актива (с нулевой
дисперсией доходности) с
доходностью 
формулировка
задачи меняется
Решение этой задачи имеет вид
Вектор структуры рискового портфеля (доли рисковых активов не во всем портфеле, а в общей стоимости рискового портфеля) будет равен
Видно, что структура рисковой части портфеля не зависит от требуемой доходности. Требуемая доходность определяет лишь соотношение рискового портфеля и безрискового актива.
Средняя доходность рискового портфеля будет равна
Стандартное отклонение оптимального (эффективного) портфеля зависит от требуемой доходности линейно, а именно следующим образом
Нетрудно также определить связь средней доходности отдельных инструментов от средней доходностью портфеля. Для этого определим вектор коэффициентов
Отсюда получаем, что если инвесторы рациональны, то рыночный портфель условно можно считать эффективным, следовательно на рынке средняя доходность инструмента связана с доходностью рыночного портфеля следующим линейным образом
Это модель оценки финансовых активов — CAPM
37. Оптимизация Инвестиционого портфеля по модели Шарпа = 35 ??