7. Релятивиская динамика. Масса импульс энергия. Закон взаимодействия массы и энергии. Критика.Понятие об общей теории относительности.

Принцип относительности Эйнштейна утверждает инвариантность всех законов природы по отношению к переходу от одной инерциальной системе отсчета к другой. Это значит, что все уравнения, описывающие законы природы, должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. К моменту создания СТО теория, удовлетворяющая этому условию, уже существовала – это электродинамика Максвелла. Однако уравнения классической механики Ньютона оказались неинвариантными относительно преобразований Лоренца, и поэтому СТО потребовала пересмотра и уточнения законов механики.

В основу такого пересмотра Эйнштейн положил требования выполнимости закона сохранения импульса и закона сохранения энергии в замкнутых системах. Для того, чтобы закон сохранения импульса выполнялся во всех инерциальных системах отсчета, оказалось необходимым изменить определение импульса тела. Вместо классического импульса в СТО релятивистский импульс тела с массой m, движущегося со скоростью записывается в виде

Если принять такое определение, то закон сохранения суммарного импульса взаимодействующих частиц (например, при соударениях) будет выполняться во всех инерциальных системах, связанных преобразованиями Лоренца. При β → 0 релятивистский импульс переходит в классический. Масса m, входящая в выражение для импульса, есть фундаментальная характеристика частицы, не зависящая от выбора инерциальной системы отсчета, а, следовательно, и от скорости ее движения. (Во многих учебниках прошлых лет ее было принято обозначать буквой m0 и называть массой покоя. Кроме того, вводилась так называемая релятивистская масса, равная зависящая от скорости движения тела. Современная физика постепенно отказывается от этой терминологии).

Основной закон релятивистской динамики материальной точки записывается так же, как и второй закон Ньютона:

но только в СТО под понимается релятивистский импульс частицы. Следовательно,

Так как релятивистский импульс не пропорционален скорости частицы, скорость его изменения не будет прямо пропорциональна ускорению. Поэтому постоянная по модулю и направлению сила не вызывает равноускоренного движения. Например, в случае одномерного движения вдоль оси x ускорение частицы под действием постоянной силы оказывается равным

Если скорость классической частицы беспредельно растет под действием постоянной силы, то скорость релятивистской частицы не может превысить скорость света c в пустоте. В релятивистской механике, так же, как и в механике Ньютона, выполняется закон сохранения энергии. Кинетическая энергия тела Ek определяется через работу внешней силы, необходимую для сообщения телу заданной скорости. Чтобы разогнать частицу массы m из состояния покоя до скорости υ0 под действием постоянной силы F, эта сила должна совершить работу

Поскольку a dt = dυ, окончательно можно записать

Вычисление этого интеграла приводит к следующему выражению для кинетической энергии (индекс «ноль» при скорости υ опущен):

Эйнштейн интерпретировал первый член в правой части этого выражения как полную энергию E движущийся частицы, а второй член как энергию покоя E0:

8. колебания и волны. гармонические колебания. диференциальные уравнения свободных, затухающих и вынужденных колебаний. резонанс. волновое уравнение. продольные и поперечные волны. принцип суперпозиции. интерференция волны.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

или

обобщенное диф.уравнение гармонических колебаний

Колебания — движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.

Свободные колебания — колебания в системе под действием внутренних тел, после того как система выведена из положения равновесия.

Колебания груза, подвешенного на нити, или груза, прикрепленного к пружине, — это примеры свободных колебаний. После выведения этих систем из положения равновесия создаются условия, при которых тела колеблются без воздействия внешних сил.

Система — группа тел, движение которых мы изучаем.

Внутренние силы — силы, действующие между телами системы.

Внешние силы — силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее.

Условия возникновения свободных колебаний.

При выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать сила, направленная к положению равновесия и, следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.

Пример: при перемещении шарика, прикрепленного к пружине, влево и при его перемещении вправо сила упругости направлена к положению равновесия.

Трение в системе должно быть достаточно мало. Иначе колебания быстро затухнут или вовсе не возникнут. Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.

Вынужденные колебания — колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Внешние силы — силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее.

Пример: мы двигаем книгу, лежащую на столе, вперед и назад. Колебания книги в данном случае вызваны действием со стороны руки.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону:

резонанс.

при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде:

. Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что :

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

В физике мы имеем дело с волнами различной природы: механическими, электромагнитными и т.д. Несмотря на отличия, эти волны имеют много общих черт. Волны, рассматриваемый параметр которых (смещение молекул, механическое напряжение, и т.д.) изменяется периодически вдоль оси распространения, называются продольными волнами. Если колебания происходят перпендикулярно оси распространения волны (как у электромагнитных волн, например), то такие волны называются поперечными.

Если взаимосвязь между частицами среды осуществляется силами упругости, возникающими вследствие деформации среды при передаче колебаний от одних частиц к другим, то волны называются упругими. К ним относятся звуковые, ультразвуковые, сейсмические и др. волны. На первой анимации изображён процесс распространения продольной упругой волны в решётке, состоящей из шариков, соединённых упругими пружинками. Каждый шарик колеблется по гармоническому закону в продольном направлении, совпадающем с направлением распространения волны. Амплитуда каждого шарика одинакова и равна A, а фаза колебаний линейно растёт с увеличением номера шарика на Dj т.е.

x=Asin(wt); x1=Asin(wt+Dj); x2=Asin(wt+2Dj); x3=Asin(wt+3Dj); и т.д.

где w -частота волны, t - время, Dj - изменение фазы от шарика к шарику

В поперечной волне колебания происходят в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Как и в случае продольных волн амплитуды колебаний всех шариков одинаковы, а фаза линейно изменяется от шарика к шарику

y0=Bsin(wt); y1=Bsin(wt+Dj); y2=Bsin(wt+2Dj); y3=Bsin(wt+3Dj); и т.д.

В общем виде уравнение распространения волны может быть записано в виде: z = Acos(wt - kx), где z - координата, по которой происходит движение частиц, x - координата оси, вдоль которой распространяется волна, k - волновое число, равное w / v, v - скорость распространения волны. Зная частоту волны и скорость её распространения, мы можем найти сдвиг фаз между соседними шариками (частицами): Dj = (w / v)a, где a - расстояние между шариками в решётке.

На следующей анимации изображено наложение продольной и поперечной волн равной амплитуды, сдвинутых по фазе на 90 градусов. В результате каждая масса совершает круговые движения. Уравнение движения каждого шарика может быть описано уравнением:

x=Acos(wt+j0); y=Asin(wt+j0)

У волн, наблюдаемых на поверхности жидкости, так называемых поверхностных волн, взаимосвязь между соседними элементами поверхности жидкости при передаче колебаний осуществляется не силами упругости, а силами поверхностного натяжения и тяжести. Колебания масс в сетке моделируют движение молекул в волне на поверхности жидкости. В случае малой амплитуды волны каждая масса движется по окружности, радиус которой убывает с расстоянием от поверхности. Массы внизу сетки находятся в покое.

Волны на поверхности жидкости не являются ни продольными, ни поперечными. Как мы можем видеть на анимации, красный шарик, моделирующий молекулу поверхности жидкости, движется по круговой траектории. Таким образом, волна на поверхности жидкости представляет собой суперпозицию продольного и поперечного движения молекул.

Ква́нтовая суперпози́ция (когерентная суперпозиция) — это суперпозиция состояний, которые не могут быть реализованы одновременно с классической точки зрения, это суперпозиция альтернативных (взаимоисключающих) состояний. Принцип существования суперпозиций состояний обычно называется в контексте квантовой механики просто принципом суперпозиции.

Интерференция волн — взаимное усиление или ослабление амплитуды двух или нескольких когерентных волн, одновременно распространяющихся в пространстве.[1] Сопровождается чередованием максимумов и минимумов (пучностей) интенсивности в пространстве. Результат интерференции (интерференционная картина) зависит от разности фаз накладывающихся волн.

Интерферировать могут все волны, однако устойчивая интерференционная картина будет наблюдаться только в том случае, если волны имеют одинаковую частоту и колебания в них не ортогональны. Интерференция может быть стационарной и нестационарной. Стационарную интерференционную картину могут давать только полностью когерентные волны. Например, две сферические волны на поверхности воды, распространяющиеся от двух когерентных точечных источников, при интерференции дадут результирующую волну, фронтом которой будет сфера.

При интерференции энергия волн перераспределяется в пространстве.[1] Это не противоречит закону сохранения энергии потому, что в среднем, для большой области пространства, энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн.

При наложении некогерентных волн средняя величина квадрата амплитуды результирующей волны равна сумме квадратов амплитуд накладывающихся волн. Энергия результирующих колебаний каждой точки среды равна сумме энергий ее колебаний, обусловленных всеми некогерентными волнами в отдельности.

9. основы квантовой механики. корпускулярно-волновой дуализм. формула дебройлся. соотношение неопределенностей. волновая функция и её статистический смысл. уравнение шредингера. стационарные состояния. основная задача квантовой механики и общая схема её решения. одномерная прямоугольная потенциальная яма. принцип запрета паули. вырожденные состояния.

Корпускуля́рно-волново́й дуали́зм — принцип, согласно которому любой объект может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства. Был введён при разработке квантовой механики для интерпретации явлений, наблюдаемых в микромире, с точки зрения классических концепций. Дальнейшим развитием принципа корпускулярно-волнового дуализма стала концепция квантованных полей в квантовой теории поля.

Как классический пример, свет можно трактовать как поток корпускул (фотонов), которые во многих физических эффектах проявляют свойства электромагнитных волн. Свет демонстрирует свойства волны в явлениях дифракции и интерференции при масштабах, сравнимых с длиной световой волны. Например, даже одиночные фотоны, проходящие через двойную щель, создают на экране интерференционную картину, определяемую уравнениями Максвелла[1].

Тем не менее, эксперимент показывает, что фотон не есть короткий импульс электромагнитного излучения, например, он не может быть разделён на несколько пучков оптическими делителями лучей, что наглядно показал эксперимент, проведённый французскими физиками Гранжье, Роже и Аспэ в 1986 году[2]. Корпускулярные свойства света проявляются при фотоэффекте и в эффекте Комптона. Фотон ведет себя и как частица, которая излучается или поглощается целиком объектами, размеры которых много меньше его длины волны (например, атомными ядрами), или вообще могут считаться точечными (например, электрон).

В настоящий момент концепция корпускулярно-волнового дуализма представляет лишь исторический интерес, так как служила только интерпретацией, способом описать поведение квантовых объектов, подбирая ему аналогии из классической физики. На деле квантовые объекты не являются ни классическими волнами, ни классическими частицами, приобретая свойства первых или вторых лишь в некотором приближении. Методологически более корректной является формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям (пропагаторная), свободная от использования классических понятий.

Волны де Бройля

Физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Квантовые эффекты являются существенными, если характерное значение действия (произведение характерной энергии на характерное время или характерного импульса на характерное расстояние) становится сравнимым с (постоянная Планка). Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме , то применяется нерелятивистская квантовая механика; при скоростях близких к — релятивистская квантовая механика.

В основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов, Эйнштейна о фотонах, данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определенных условиях состояния частиц микромира.

Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом . Все частицы, имеющие конечный импульс , обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены интерференции и дифракции.

Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны , связанной с движущейся частицей вещества, от импульса частицы:

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых (см. физическая величина), описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределенностей[* 1] задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.

Волнова́я фу́нкция, или пси-функция — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Уравне́ние Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году.

Стационарным состоянием (от лат. stationarius — стоящий на месте, неподвижный) называется состояние квантовой системы, при котором её энергия и другие динамические величины, характеризующие квантовое состояние, не изменяются.

Существование таких состояний для атома было предсказано А. Эйнштейном в 1906 г. и подтверждено Н. Бором в 1916 г. На основе полученных данных, Бор сформулировал свои постулаты. Согласно его выводам, атом может переходить из одного стационарного состояния в другое лишь с помощью поглощения или выделения кванта с энергией, равной разности энергий атома в начальном и конечном стационарных состояниях.

Ква́нтовая меха́ника — раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием повседневных объектов, квантовые эффекты в основном проявляются только в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля.

При́нцип Па́ули (принцип запрета) — один из фундаментальных принципов квантовой механики, согласно которому два и более тождественных фермиона (частиц с полуцелым спином) не могут одновременно находиться в одном квантовом состоянии.

Принцип был сформулирован для электронов Вольфгангом Паули в 1925 г. в процессе работы над квантомеханической интерпретацией аномального эффекта Зеемана и в дальнейшем распространён на все частицы с полуцелым спином. Полное обобщённое доказательство принципа было сделано им в 1940 г. в рамках релятивистской квантовой механики: волновая функция системы фермионов является антисимметричной относительно их перестановок, поведение систем таких частиц описывается статистикой Ферми — Дирака.

Принцип Паули можно сформулировать следующим образом: в пределах одной квантовой системы в данном квантовом состоянии может находиться только одна частица, состояние другой должно отличаться хотя бы одним квантовым числом.

В статистической физике принцип Паули иногда формулируется в терминах чисел заполнения: в системе одинаковых частиц, описываемых антисимметричной волновой функцией, числа заполнения могут принимать лишь два значения

10. элементы стастистической физики. макро и микро состояния частиц. статистический вес. энтропия. распределние максвелла. закое распределения энергии по степени свободы. больцмана. внутренняя энергия идеального газа.

макросостояние - сост. макр. тела, заданное с помощью , , , и др. макроскопич. величин.

микросостояние - сост. макр. тела, охарактериз. настолько подробно, что оказ. заданными сост. всех образ. тело молекул.

Число различных микросостояний, соответсв. данному макросостоянию наз-ся статистическим весом или термодинамической вероятностью.

, - общ. число молекул, - число молекул слева.

Статистический вес состояния системы - это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние системы. Статистические веса всех возможных состояний системы определяют её энтропию.

Энтропи́я (от греч. εντροπία — поворот, превращение) — понятие, впервые возникшее в термодинамике как мера необратимого рассеяния энергии; широко применяется в других областях: в статистической механике — как мера вероятности осуществления состояния системы; в теории информации — как мера неопределённости сообщений; в теории вероятностей — как мера неопределённости опыта, испытания с различными исходами; её альтернативные трактовки имеют глубокую внутреннюю связь: например из вероятностных представлений об информации можно вывести все важнейшие положения статистической механики.

Распределение Ма́ксвелла — распределение вероятности, встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и диффузию. Распределение Максвелла также применимо для электронных процессов переноса и других явлений. Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. О нём обычно думают как о распределении энергий молекул в газе, но оно может также применяться к распределению скоростей, импульсов, и модуля импульсов молекул. Также оно может быть выражено как дискретное распределение по множеству дискретных уровней энергии, или как непрерывное распределение по некоторому континууму энергии.

Распределение Максвелла может быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Как распределение энергии, оно соответствует самому вероятному распределению энергии, в столкновительно-доминируемой системе, состоящей из большого количества невзаимодействующих частиц, в которой квантовые эффекты являются незначительными. Так как взаимодействие между молекулами в газе является обычно весьма небольшим, распределение Максвелла даёт довольно хорошее приближение ситуации, существующей в газе.

Во многих других случаях, однако, даже приблизительно не выполнено условие доминирования упругих соударений над всеми другими процессами. Это верно, например, в физике ионосферы и космической плазмы, где процессы рекомбинации и столкновительного возбуждения (то есть излучательные процессы) имеют большое значение, в особенности для электронов. Предположение о применимости распределения Максвелла дало бы в этом случае не только количественно неверные результаты, но даже предотвратило бы правильное понимание физики процессов на качественном уровне. Также, в том случае где квантовая де Бройлева длина волны частиц газа не является малой по сравнению с расстоянием между частицами, будут наблюдаться отклонения от распределения Максвелла из-за квантовых эффектов.

Распределение энергии Максвелла может быть выражено как дискретное распределение энергии:

Для многоатомного газа наряду с вопросом о распределении молекул по координатам и импульсам возникает вопрос о распределении по углам, характеризующим вращение, и внутренним координатам, характеризующим колебания. В частности, возникает важный вопрос, определяющий физический смысл температурного равновесия. Как распределяется энергия молекул по различным степеням свободы при заданной температуре?

287

Для решения этой задачи следует определить, как энергии вращения и колебания зависят от координат и импульсов. При вращении расстояния между атомами не меняются, поэтому энергия вращения Eвр целиком кинетическая. Пусть масса т вращается на расстоянии r от некоторой оси, тогда

εвр = mυ,

но

υ = ωr,

где ω - угловая скорость, следовательно:

pвр = mω2r2/2.

Импульс вращения рвр определяется общим соотношением

pвр = ∂εвр/∂q = ∂εвр/∂ω

или

pвр = mωr2.

Если вращается несколько тел с разными массами на различных расстояниях от оси, но с одинаковой угловой скоростью, то

εвр = (ω2/2)∑mr2.

Как известно, величина I, определяемая уравнением

I = ∑mr2,

носит название момента инерции.

Соответственно

pвр = ωI

и

εвр = p2вр/2I.

Положение оси двухатомной молекулы, как и всякой линии в пространстве, определяется двумя углами. Следовательно, кинетическая энергия вращения двухатомной молекулы будет содержать два члена:

εвр = (p 2 1 2I1) + (p 2 2 /2I1).

Положение жесткой многоатомной молекулы в пространстве определяется тремя углами. Поэтому

εвр = (p 2 1 2I1) + (p 2 2 2I2) + (p 2 3 2I3).

Мы не останавливаемся на вопросе о том, как рационально выбрать эти углы.

288

Таким образом, энергия вращения выражается квадратично через импульсы и для многоатомной молекулы имеет три квадратичных члена.

Колеблющаяся частица имеет как кинетическую Eк = p 2 кол /2m, так и потенциальную энергию.

Для гармонического колебания потенциальная энергия выражается квадратично через отклонение q. Действительно, поскольку возвращающая сила f пропорциональна отклонению:

f = -γq,

где γ - упругая постоянная, то

εпот = q ∫ 0 γq2/2.

Следовательно, энергия гармонического колебания характеризуется двумя квадратичными членами:

Рассчитаем, сколько независимых колебаний может совершать r-атомная молекула.

Всего r-атомная молекула имеет 3 r степеней свободы. Из них шесть относятся к поступательному и вращательному движениям. Таким образом, для r-атомной молекулы при r > 2 число колебаний равно 3r - 6, число квадратичных членов в колебательной энергии равно 6 r - 12, а общее число всех квадратичных членов в выражении энергии

6r - 12 + 6 = 6r - 6.

Рассчитаем среднюю энергию молекулы, приходящуюся на один квадратичный член, и докажем, что она равна kT/2 независимо от вида энергии.

Для конкретности рассмотрим среднюю энергию εi, приходящуюся на квадратичный член:

εi = βiq 2 i ,

где βi - некоторая постоянная.

По определению среднего значения.

Закон распределения энергии по степеням свободы разъясняет смысл температурного равновесия. Для того, чтобы газ имел температуру Т, все резервуары энергии (квадратичные члены) должны быть заполнены. Запас кинетической энергии поступательного движения у всех

газов одинаков и для одного моля составляет (3kT/2) NA = 3RT/2.

Одним из следствий закона распределения энергии по степеням свободы является закон Авогадро-Жерара, согласно которому в одинаковых объемах газа при одинаковых давлении и температуре содержится одинаковое число молекул.

Известно, что давление возникает в результате изменения импульсов молекул при ударе их о стенки сосуда.

Расчет приводит к формуле:

pV = 1/3Nmu2, (XI.13)

где u2 - средний квадрат скорости.

Величина mu2 = 2εкин одинакова у всех газов при одинаковой температуре. Из формулы (XI. 13) непосредственно видно, что если два газа находятся при одинаковых р, V и Т, то они содержат одинаковое число молекул N.

Согласно закону Джоуля, выведенному эмпирически, внутренняя энергия идеального газа не зависит от давления или объёма. Исходя из этого факта, можно получить выражение для изменения внутренней энергии идеального газа. По определению молярной теплоёмкости при постоянном объёме

Так как внутренняя энергия идеального газа является функцией только от температуры, то

Эта же формула верна и для вычисления изменения внутренней энергии любого тела, но только в процессах при постоянном объёме (изохорных процессах); в общем случае является функцией и температуры, и объёма.

Если пренебречь изменением молярной теплоёмкости при изменении температуры, получим:

,