2. Расчёт предельной погрешности
Если известна функциональная зависимость вида
где
x-
входная величина, а
-
влияющий фактор,
то предельная абсолютная погрешность определяется по формуле варьирования
.
(2.1)
Учитывая малость отдельных составляющих в (3.1) предельную относительную погрешность часто получают по следующей формуле
.
(2.2)
Оценки погрешности (2.1) и (2.2) являются предельными т.к. все составляющие берутся положительными.
3. Случайные возмущения. Расчёт дисперсии
Основные источники случайных возмущений в электронных схемах являются шумы и помехи. Источниками их являются тепловые шумы, а также электростатические, магнитные , электромагнитные и сетевые помехи, аддитивная сумма которых суммируется с входным сигналом.
Как показывают экспериментальные исследования, указанные возмущения можно считать нормальными и для небольших промежутков времени стационарными случайными процессами.
Оставаясь в рамках корреляционной теории, считаем, что случайные процессы могут быть заданы своими математическими ожиданиями и корреляционными функциями (этих характеристик достаточно с учетом допущения о нормальности и стационарности случайных процессов).
Корреляционная
функция возмущений,
в общем виде, является функцией двух
переменных
и
,
где
– задержка (сдвиг времени). В случае
нестационарных процессов при вычислении
корреляционной функции появляется
большое количество трудностей. Поэтому
ограничимся частным случаем, когда
– стационарный случайный процесс и его
вероятностные характеристики не зависят
от времени.
Известно,
что для таких процессов математическое
ожидание
и дисперсия
постоянны, а корреляционная функция
зависит только от разности аргументов
:
.
Дисперсия
при этом равна корреляционному моменту
при
,
то есть при
:
.
Корреляционную функцию часто представляют в виде:
(3.1)
где
– берется модуль
,
поскольку корреляционная функция
стационарных процессов является чётной
функцией;
– коэффициент, характеризующий степень нерегулярности процессов;
– преобладающая частота процесса.
Как показано в теории случайных процессов, любая корреляционная функция стационарного случайного процесса может быть аппроксимирована линейной комбинацией функций вида (3.1).
Вместо корреляционной функции стационарный случайный процесс может быть охарактеризован спектральными плотностями. Обе вероятностные характеристики тесно связаны между собой и могут быть выражены друг через друга в соответствии с теоремой Хинчина-Винера:
(3.2)
Физическая
суть спектральной плотности
заключается в следующем: это величина,
пропорциональная средней мощности
случайного процесса в интервале частот
от
до
при
,
или, по-другому, мощность приходящаяся
на каждую частоту.
Физическая суть корреляционной функции заключается в вероятностной связи между значениями (отсчетами) случайного процесса.
Корреляционным функциям (4.1) соответствуют спектральные плотности вида:
(3.3)
Если случайный процесс представляет собой вектор-столбец:
, (3.4)
то
его корреляционная функция и спектральная
плотность представляют собой матрицы
размера
.
При этом по главной диагонали располагаются
корреляционные функции (автокорреляционные
функции) входных процессов
или соответствующие спектральные
плотности. Остальные элементы – взаимные
корреляционные функции или взаимные
спектральные плотности. Если
– некоррелированы, то
и
– диагональные матрицы и:
.
Важность спектральной плотности для техники заключается в том, что она является единственным параметром случайного процесса преобразуемым реальными звеньями .
Спектральная плотность на выходе передаточной функции определяется следующим образом
.
.
(3.5)
Интегралы (4.2) приводят к табличному интегралу:
,
(3.6)
где
;
.
Для
устойчивой системы
можно представить в виде :
,
где
;
– определитель
Гурвица.
В
таблицах
вычислен до
.
Дисперсия на выходе передаточной функции получают по выражению (3.7).
(3.7)
Если интеграл (3.7) не сходится, то при его вычислении можно использовать информацию о ЛАХ (АЧХ) заменяя верхний предел интеграла на частоту при которой ЛАХ менее -40дБ, а вместо нижнего предела (0) ставят 0,1-0,01.