19. Теоремы о структуре общих решений однородного и неоднородного линейных дифференциальных уравнений.
21. Комплексные числа, основные понятия и операции над ними в алгебраической и тригонометрической формах. Показательная форма комплексного числа.
x+iy = Z – комплексное число,где x и y-действ. числа, i-мнимая единица, определяемая равенством i=√-1, или i2=-1. z1=x+iy, z2=x-iy, z2-сопряженное число к z1. Геометрический смысл: комплексное число – точка на плоскости или радиус-вектор.
Z1 ± Z2 = (x1 ± x2)+i(y1 ± y2); Z1∙Z2 = (x1∙x2 – y1∙y2) +i( x1∙y2 + y1∙x2);
Свойства:
Z = (x+i0) = x – действительное число Z = (0+i1) = i – комплексная еденица.
Z=r(cosφ+isinφ)-тригонометрическая форма записи.
22. Извлечение корня из комплексного числа. Геометрический смысл.
Пусть дано к. ч. z. Корнем степени n из z назовём такое ч. W что Wn=z. Wk=n√r(cosαk+isinαk), где r-модуль z, αk=φ/n+2πk/n. φ-аргумент z. Геометрическим смыслом корня степ. nявляется прав. n-угольник.
23. Нахождение фундаментальной системы решений однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и построение его общего решения.
Лин. одн. д.у. второго порядка с пост. коэфиц. имеет вид y’’+ay’+by=0, где a и b –пост. коэф. Общее решение имеет вид y=c1y1+c2y2. k2+ak+b=0. 1)D>0 два решения y1= ek1x y2=ek2x Тогда ф-ция y(x)=c1y1+c2y2 также явл. реш. о.л.д.у. Наз. общим реш. 2)D=0 Одно реш. y1(x)=eax/2 Рассмотрим ф-цию y2=x eax/2 она также явл. реш. о.л.д.у. Тогда y=c1y1+c2y2- общее реш. 3)D<0 два решения y1=eαx(cosβx+isinβx) y2= eαx(cosβx+isinβx) y=c1y1+c2y2 – общее реш.
20=24) 24. Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. 20. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Лин. неодн. д. у. второго порядка с пост. коэф. y’’+ay’+by=f(x). Общее реш. лин. неодн. д. у. y=y1+y2, где y1 –общее реш. одн. ур. , y2-частное реш. неодн. ур. по виду прав. части . Прав. часть имеет вид f(x)=eα0xPm(x)(Acos(β0x)+Bsin(β0x)), Pm(x)-многочлен степени m.Пусть k0=α0+iβ0. Пусть k1 и k2- корни характер. ур. k2+ak+b=0. a) k1≠k2≠k0-нерезонансный случай . Частное реш. имеет вид y2=eα0xcosβ0xQ1m(x)+ eα0xsinβ0x Q2m(x)
b) k1= k0, k2≠ k0 . Частное реш. имеет вид y2=eα0xcos(β0x)xQ1m(x)+ eα0xsin(β0x)x Q2m(x)
c) k1= k0= k2, . Частное реш. имеет вид y2=eα0xcos(β0x) x2 Q1m(x)+ eα0xsin(β0x) x2 Q2m(x)
25. Числовые ряды, основные понятия и свойства. Необходимое условие сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.
Числовым рядом наз. формальная сумма а1+а2+…+аn+… или ∑аn. Аn= а1+а2+…+аn- частичная сумма ряда . Числ. ряд сход. если существует конеч. предел его частич. сумм. Необходимые условия сход. ряда limAn=0. Достаточный признак расходимости limAn≠0. Гармонический ряд ∑1/n- расход. хотя и вып. необход. усл. сход.
.
27. Признак Даламбера. Признак Коши. Примеры.
Признак
Даламбера
q<1
– сходится, q>1
– расходится, q=1
– определить невозможно. Признак Коши
q<1
– сходится, q>1
– расходится, q=1
– определить невозможно.