
- •26. Признаки сходимости положительных рядов. Признаки сравнения.
- •8. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции.
- •10. Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.
- •16.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
- •17. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •18. Линейно зависимые и независимые системы функций и фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения.
- •19. Теоремы о структуре общих решений однородного и неоднородного линейных дифференциальных уравнений.
- •21. Комплексные числа, основные понятия и операции над ними в алгебраической и тригонометрической формах. Показательная форма комплексного числа.
- •22. Извлечение корня из комплексного числа. Геометрический смысл.
- •23. Нахождение фундаментальной системы решений однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и построение его общего решения.
- •25. Числовые ряды, основные понятия и свойства. Необходимое условие сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.
- •27. Признак Даламбера. Признак Коши. Примеры.
- •29. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда и оценка остатка ряда «типа Лейбница».
- •31. Функциональный ряд и его область сходимости. Мажорируемые ряды. Их свойства. Примеры.
- •32. Степенные ряды. Теорема Абеля, радиус и интервал сходимости степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •33. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенной ряд и приближенные вычисления с помощью степенных рядов.
- •34. Ортогональные системы функций. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение четных и нечетных функций в тригонометрический ряд Фурье. Общие ряды Фурье.
16.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно производной. Оно имеет вид dy/dx+P(x)y=Q(x) (1), где P(x) и Q(x)—заданные непрерывные функции от х (или постоянные). Решение уравнения (1) в виде произведения двух функций от х: y=u(x)v(x). (2). Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определиться на основании уравнения (1). Дифференцируя обе части (2), находим: dy/dx=udv/dx+vdu/dx. Подставляя полученное выражение производной dy/dx в уравнение(1), получим:
u(dv/dx+Pv)+vdu/dx=Q (3). Выберем функцию v такой, чтобы
dv/dx+Pv=0 (4), разделяя переменные и интегрируя получаем:
-
lnlC1l+lnlvl
= -Pdx,
или v(x)=C1e-Pdx.
Подставляя найденное значение v(x)
в уравнение(3), учитывая dv/dx+Pv=0,
получим:v(x)du/dx=Q(x),
или du/dx=Q(x)/v(x),
откуда u=Q(x)dx/v(x)+C,
окончательно подставляя u
и v
в (2), получим,y=v(x)Q(x)dx/v(x)+Cv(x).
Уравнение
Бернулли:
Уравнение вида dy/dx+P(x)y=Q(x)yn
(1), где P(x)
и Q(x)—заданные
непрерывные функции от х (или постоянные),
а n0;1.
Это уравнение приводится к линейному
следующим преобразованием. Разделив
обе части на yn,
получим: y-ndy/dx
+ Py
-n+1=Q
(2). Сделаем, далее, замену: z
= y
-n+1.
Тогда dz/dx
=(-n+1)y-ndy/dx.
Подставляя эти значения в уравнение(2),
имеем линейное уравнение: dz/dx
+(-n+1)Pz
= (-n+1)Q.
Найдя его общий интеграл и подставив
вместо z
выражение y
-n+1
, получим общий интеграл уравнения
Бернулли.
17. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида y(n)=f(x,y,y’,…y(n-1)). Для данного д.у. можно сформулировать задачу Коши. Найдём общий интеграл этого уравнения. Интегрируя по x левую и правую части и принимая во внимание, что y(n)= (y(n-1))’, получим:
,
где x0-любое
фиксированное значение х, а С1-постоянная
интегрирования. Интегрируя еще раз
получим:
Продолжая
далее, получим после n-интегрирований,
выражение общего интеграла:
Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям: yx=x0
= y0,
y’x=x0=y’0…,y(n-1)
x=x0
=y0
(n-1),
достаточно представить, что: Сn=y0,
Cn-1=y’0,…,
C1=y0
(n-1)
.
18. Линейно зависимые и независимые системы функций и фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения.
Пусть дано однор. лин. д. у. y’’+ay’+by=0. Будем искать реш. в виде y=ekx тогда y’=k* ekx y’’=k2ekx k2ekx+akekx+bekx=0 т.к. ekx ≠0 получим k2+ak+b=0 – характеристическое уравнение, корни уравнения – характеристические числа. 1)D>0 два решения y1= ek1x y2=ek2x Тогда ф-ция y(x)=c1y1+c2y2 также явл. реш. о.л.д.у. Наз. общим реш. 2)D=0 Одно реш. y1(x)=eax/2 Рассмотрим ф-цию y2=x eax/2 она также явл. реш. о.л.д.у. Тогда y=c1y1+c2y2- общее реш. 3)D<0 два решения y1=eαx(cosβx+isinβx) y2= eαx(cosβx+isinβx) y=c1y1+c2y2 – общее реш.