10. Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.

y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b], _a^bf(x₁)d x₁. x[a, b] _a^xf(x₁)dx₁=I(x) – интеграл с переменным верхним пределом.

xI(x)

Теорема 1: функция y=I(x)=_a^xf(x₁)dx₁ непрерывна на промежутке [a,b]. Докажем, что x0I(x)0.

Доказательство: x[a,b], x такое, что x+x[a,b].

I(x)=_x^x+xf(x₁)dx₁

I=I(x+x)-I(x)=_x^x-xf(x₁)dx₁- _a^xf(x₁)dx₁

|I|=| _x^x+xf(x₁)dx₁| _x^x+x|f(x₁)|dx₁M_x

|f(x₁)| M.

Теорема 2: Если y=f(x) непрерывна в точке x[a,b], то  I’(x)=f(x).

 I(x)=_x^x+xf(x₁)dx₁=f(x) x.

x [a,b]

 I(x)/x=f(x)

 x0; xx; f(x) f(x)

lim (I/x)=f(x)

^x0

Следствие из теоремы 2: если y=f(x) непрерывна и интегрируема на [a,b], то I(x)– первообразная для y=f(x) на [a,b].

Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл от дифференциала функции F(x) равен приращению F(x) функции на промежутке интегрирования: _a^bdF(x)=F(b)-F(a). Т.е.: если F(x) есть какая-либо первообразная подынтегральной функции f(x), то: _a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

11. Замена переменной в определенном интеграле и формула интегрирования по частям. Примеры.

Формула интегрирования по частям.

Удобнее использовать ту же формулу, которая применялась с неопределенном интеграле. Интегрированием по частям называется сведение данного интеграла UdV к интегралу VdU с помощью формулы _x1^x2UdV=U*V| _x1^x2- _x1^x2VdU. За U принимается та функция, интеграла которой нет в таблице, U интегрируется «хуже», V – «лучше».

Замена переменной в определенном интеграле

Для вычисления _x1^x2f(x)dx можно ввести вспомогательную переменную z, связанную с x некоторой зависимостью. Подынтегральное выражение преобразуется как при неопределенном интегрировании к виду f₁(z)dz. Кроме того надо заменить пределы интегрирования x₁; x₂ новыми пределами z₁; z₂ с таким расчетом, чтобы эти значения переменной z соответствовали данные значения x₁; x₂ переменной x. Если это возможно, то имеем _x1^x2f(x)dx=_z1^z2f₁(z)dz

Примеры:

1.₀^/2xsinxdx=₀^/2xd(-cosx)=-xcosx|₀^/2 +₀^/2cosx dx=sinx|₀^/2=1

14. Задача Коши, един-ое реш-е. Метод Эйлера.

y₀=y(x₀)- наз-ся нач-м услов-м задачи, нахош-я реш-я у-я y`=f(x;y); удовл. нач. услов. наз-ся задачей Коши. Т. сущ-я един-ти реш-е задачи Коши: рассмот-м прямоу-к Д={(x;y)x-x<sub>0</sub><a,y-y<sub>0</sub><в}. Пусть в прям-ке определена фун-я f(x;y), М=махf(x;y), (x;y)Д. Говорят, что фун-я f(x;y) удовл-ет услов-ю Липшица в прямоу-ке Д, если вып-ся нерав-во f(x<sub>1</sub>;y<sub>1</sub>)-f(x<sub>2</sub>;y<sub>2</sub>)< k(y1-y2), где (x<sub>1</sub>;y<sub>1</sub>)Д, (x<sub>2</sub>;y<sub>2</sub>)Д. Если фун-я f(x;y) диф-ма по y и имеет огранич-ю произ-ю в прям-ке Д, то она удовл-т усл-ю Липшица. Теорема: пусть для фун-и f(x;y) выпол-ся в прям-ке след-и услов-я: фун-я f(x;y) удовл-ет услов-ю Липшица в прямоуке Д, и явл-ся непрерывной по оси х, тогда задача Коши имеет ед-е реш-е y=y(x), при x[x<sub>0</sub>-h;x<sub>0</sub>+h], где h-min из двух чисел h=min(a;в/М). Эйлер: y`=lim_x0(y(x+x)-y(x))/x(y(x+x)-y(x))/x. Поэтому дуф-е ур-е можно заменить: (y(x+x)-y(x))/x=f(x,y(x)), y(x+x)= y(x)+xf(x,y(x)).Выберем x достаточно маленьким, тогда с учётом нач-х усл-й получ-м: y(x₀+x)= y(x₀)+xf(x₀;y(x₀)). Тогда y_k=y_k-1+xf(x_k+y_k-1)- метод Эйлера.

13.Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление длины дуги, площади плоской фигуры, объема тела вращения, площадь поверхности тел вращения в декартовых, полярных координатах и от параметрических функций.

Длина дуги кривой (в декартовых координатах).

Пусть дана кривая y=f(x). Найдем длину дуги АВ этой кривой, заключенной между вертикальными прямыми х=а и х=b. Длиной дуги АВ называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю.

s = lim _i=1ⁿs_i

^{maxsi}

s_n=_i=1ⁿs_i –длина ломаной, вписанной в дугу АВ.

Докажем, что если на отрезке axb функция f(x) и её производная f’(x) непрерывны, то этот предел существует.

Пусть y_i=f(x_i)-f(x_i-1). Тогда

 s_i=(x_i)²+(y_i) ²=1+(y_i/x_i) ² x_i

По теореме Лагранжа имеем: (y_i/x_i)=(f(x_i)-f(x_i-1))/(x_i-x_i-1)=f’(_i),

г де x_i-1<_i< x_i. Значит s_i=1+[f’(_i)] ²x_i.

Длина вписанной ломаной:

s _n=_i=1ⁿ1+[f’(_i)] ²x_i

Т .к. f’(x) непрерывна, то функция 1+[f’(_i)]² тоже непрерывна. Поэтому существует предел написанной интегральной суммы, равный определенному интегралу:

s = lim _i=1ⁿ1+[f’(_i)]²x_i= _a^b1+[f’(_i)]²dx.

^{maxsi}

Ф ормула для вычисления длины дуги: s= _a^b1+[f’(x)]²dx= _a^b1+(dy/dx)²dx.

В полярных координатах. Пусть дано ур-ние p=f(q) кривой (p - полярный радиус, q - полярный угол). x=p cosq, y=p sinq. Подставим первоначальное выражение

x =f(q) cosq, y=f(q) sinq. Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой. Воспользуемся формулой: s= _a^b[’(t)]+[’(t)]²dt

dx/dq=f’(q) cosq-f(q) sinq

dy/dq=f’(q) sinq+f’(q) cosq.

( dx/dq) ²+( dy/dq) ²=[f’(q)]²+[f(q)]²=p’²+p². Следовательно: s= _q0^qp’²+p²dq

Объем тела вращения. Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью ОХ и прямыми x=a, x=b. Произвольное сечение тела пл-тью, перп. оси ОХ, есть круг с площадью Q=y²=[f(x)]². Объем тела вращения: V=_a^by²dx=_a^b[f(x)]²dx.

Площадь поверхности тел вращения. Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг ОХ. Найдем площадь её на axb. Пусть y=f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную во всех точках отрезка [a,b].

Проведем хорды, длины которых обозначим через s₁, s₂, …, s_n. Каждая хорда при вращении опишет усеч. конус с площадью поверхности

P_i=2(y_i-1+ y_i)/2s_i.

Н о s_i=(x_i)²+(y_i) ²=1+(y_i/x_i) ² x_i.

Применим формулу Лагранжа

y_i/x_i=(f(x_i)-f(x_i-1))/(x_i-x_i-1)f’(_i), где x_i-1<_i< x_i; 

 s_i=1+f’²(_i) x_i;

 P_i=2(y_i-1+ y_i)/21+f’²(_i) x_i.

Площадь поверхности, описанной ломаной:

P _n=_i=1ⁿ[f(x_i-1)+f(x_i)] 1+f’²(_i) x_i.

Предел этой суммы, когда наибольшее звено стремится к нулю – площадь поверхности вращения.

P = lim _i=1ⁿ[f(x_i-1)+f(x_i)] 1+f’²(_i) x_i=

^{maxsi}

l im  _i=1ⁿ2f(_i) 1+f’²(_i) x_i

^{maxsi}

или P=2_a^bf(x) 1+f’²(_i) dx.

Площадь плоской фигуры (в декартовых координатах). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и линиями x=a, x=b. S_трап=_a^bf(x)dx.

Трапеция ограничена только линиями x=a;y=f₁(x);f₁(x)f₂(x) и x=b;y= f₂(x);x[a,b].

Трапеция ограничена горизонтальными линиями y=c x=₁(y); y=d x=₂(y)

₁=₂ ; y[c,d] S=_c^d(₂(y)- ₁(y))dy.

В полярных координатах. Пусть дана кривая p=p(), ограниченная линиями =; =. [; ] , <. A=A₀A₁A₂_… A_n=B; =₀<₁<…<_n=;

[_k; _k+1][; ]; S=S_k; S_k=1/2p(_k)*p(_k+1)sin_k.

S=1/2p2(’ _k)* _k1/2 _^p’()d.

15. Дифференциальные уравнения первого порядка с раз­деляющимися перемен­ными и однородные.

Порядком диф-го урав-я- наз-ся наивысший порядок произ-й, вход-й в диф-е ур-е.

Уравнения первого порядка: y’=f(x, y).

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

f(x, y)=f₁(x)*f₂(y)~dy/dx=f₁(x)*f₂(y)~dy/dx=f₁(x)dx

y’=dy/dx; ∫dy/dx=∫f₁(x)dx; φ₂(y)=φ₁(x)+C

2.Однородные уравнения первого порядка.

f(x, y)=f’(y/x)

Для того, чтобы найти реш-е однородного диф-го ур-я, делается замена y/x=uy=xu.(xu)`=f(u), u+xu`=f(u), xu`=f(u)-u, x(du)/dx=f(x)-u. du/(f(u)-u)=dx/x. G(u)=Lnx+c. G(y/x)=Lnx+c- общее реш-е.