§3. Формула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли.

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии наступления одного из несовместных событий , , … , которые образуют полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Пусть известны вероятности этих событий (гипотез) и условные вероятности события А при условии наступления каждого из них. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

Теорема 1(формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии наступления одного из попарно несовместных событий , , … , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

P(A) = P( ) ∙ (A) + P( ) ∙ (A) + … + P( ) ∙ (A).

Замечание 1. Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса (по имени английского математика, который её вывел; опубликована в 1764 г.). Она позволяет переоценить вероятность гипотезы , принятую до опыта, по результатам уже проведённого опыта, то есть вычислить условную вероятность гипотезы при условии наступления события А.

Теорема 2 (формула Байеса или теорема гипотез). Пусть попарно несовместные события , , …, образуют полную группу. Тогда условная вероятность события (i = ) при условии, что событие А наступило, задаётся формулой:

( ) = =

Повторные испытания. Формула Бернулли.

Если производится несколько испытаний, причём вероятность наступления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Мы будем рассматривать такие независимые испытания, в которых события А имеют одну и ту же вероятность.

Теорема 3 ( формула Бернулли). Пусть в серии из n одинаковых независимых испытаний в каждом испытании может наступить либо событие А с вероятностью p, либо событие с вероятностью

q = 1 – p. Тогда вероятность (m) того, что в этой серии испытаний событие А наступит ровно m раз (m ≤ n), вычисляется по формуле Бернулли:

(m) = ∙ ∙ , где =

Формулы Лапласа.

Эти формулы дают приближенное значение вероятности наступления события А определённое число раз в серии из n независимых испытаний, если число n достаточно велико. Пусть p ( 0 < p < 1) – вероятность события А в каждом испытании, q = 1 – p – вероятность события .

Теорема 4 (локальная формула Лапласа). Вероятность (m) наступления события А равно m раз в серии из n одинаковых независимых испытаний приближённо вычисляется по формуле Лапласа:

(m) ∙ φ( ), где φ x)= ∙

Замечание 2. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции φ(x)= ∙ , соответствующие положительным значениям аргумента x. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция φ(x) является чётной, т.е. φ(-x) = φ(x).

Замечание 3. Формула Лапласа тем точнее приближает формулу Бернулли, чем больше число n (более нескольких десятков) и n∙p > 10.

Теорема 5 (интегральная формула Лапласа). Вероятность ( , ) того, что событие А наступит от до раз в серии из n одинаковых независимых испытаний приближённо вычисляется по формуле Лапласа: ( , ) Ф ( ) – Ф( ), где Ф(х) = ∙ dt.

Замечание 4. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции Ф(х) при 0 ≤ х ≤ 5. При х < 0 пользуются теми же таблицами, так как функция Ф(х) является нечётной, т.е. Ф(-х) = - Ф(х). Для х > 5 можно считать Ф(х) = 0,5.

Формула Пуассона.

Теорема 6 (формула Пуассона). Пусть р – вероятность наступления события А в каждом испытании. Тогда вероятность (m) наступления события А равно m раз в серии из n одинаковых независимых испытаний приближённо вычисляется по формуле Пуассона:

(m) , где λ = np.

Замечание 5. Формула Пуассона тем точнее, чем меньше p и больше число n (более нескольких сотен), причём n ∙ p < 10.