Вопрос 12(Теорема об эквивалентности пар на плоскости.)

Две пары сил называются эквивалентными, если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях.

Теорема об эквивалентности пар сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.

Доказательство: Пусть на твердое тело действует пара сил .

Перенесем силу  в точку , а силу  в точку . Проведем через точки две любые параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары. Соединим точки  отрезком прямой и разложим силы в точке  и  в точке  по правилу параллелограмма.

Так как , то

и

Поэтому эквивалентна системе , а эта система эквивалентна системе , так как эквивалентна нулю.

Таким образом мы заданную пару сил  заменили другой парой сил . Докажем, что моменты у этих пар сил одинаковы.

Момент исходной пары сил  численно равен площади параллелограмма , а момент пары сил  численно равен площади параллелограмма . Но площади этих параллелограммов равны, так как площадь треугольника равна площади треугольника .

Что и требовалось доказать.

Выводы:

1.      Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.

2.      У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.

Вопрос 13

Вопрос 14(Теорема о сложении пар в пространстве.)

При сложении пар в пространстве достаточно будет рассмотреть две пары.

Теорема: Любая система пар, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Итак, пусть даны две пары с моментами m1 и m2, лежащие в плоскостях I и II (рис. 27  )

Складываем силы в точках А и В:

и убеждаемся, что пары   заменяются одной парой  . Найдем момент   этой пары

Если на тело действует л пар с моментами  , то:

Геометрически вектор   - это замыкающий вектор силового многоугольника.

Если векторы   лежат в разных плоскостях, то можно ввести систему координат Oxyz и находить   аналитически:

Условия равновесия твердого тела под действием пространственной системы пар, запишутся:

Вопрос 15(Условия равновесия системы пар на плоскости и в пространстве)

Условия равновесия пар

Рассмотрим первоначально систему пар лежащих в одной плоскости.

Теорема: Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Пусть на тело действуют три пары сил с моментами   (рис. 26  )

Используя теорему об эквивалентности пар, заменяем эти пары эквивалентными другими парами  , имеющими общее плечо d и такие же моменты

Сложив отдельно силы получим:

Вся система заменится одной парой   с моментом

Обобщая эту формулу на n-пар получим:

Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю:

При сложении пар в пространстве достаточно будет рассмотреть две пары.

Теорема: Любая система пар, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Итак, пусть даны две пары с моментами m1 и m2, лежащие в плоскостях I и II (рис. 27  )

Складываем силы в точках А и В:

и убеждаемся, что пары   заменяются одной парой  . Найдем момент   этой пары

Если на тело действует л пар с моментами  , то:

Геометрически вектор   - это замыкающий вектор силового многоугольника.

Если векторы   лежат в разных плоскостях, то можно ввести систему координат Oxyz и находить   аналитически:

Условия равновесия твердого тела под действием пространственной системы пар, запишутся: