Вопрос 56(Мгновенная ось вращения. Векторы угловой скорости и углового ускорения. Скорость произвольной точки тела (без доказательства))

Вопрос 57(Общий случай движения тела. Скорость и ускорение произвольной точки тела в общем случае (без доказательства))

Под общим случаем понимается движение свободного твердого тела, перемещающегося в пространстве произвольным образом.  То есть тело может перемещаться вдоль любой из координатных осей и поворачиваться относительно каждой из них.  Тело имеет шесть степеней свободы.  

Для описания общего случая движения тела принято использовать две подвижные системы координат. Одна из систем движется поступательно.  Положение начала движущейся системы осей (назовем ее, как и при рассмотрении плоского движения тела, точкой А) относительно основной системы отсчета описывается тремя уравнениями.    Как  и в предыдущем случае, эту точку,  называют полюсом.

 

Вопрос 58(Сложное (составное) движение твердого тела. Сложение поступательных движений) Скорости точек твердого тела в сложном движении.

По-прежнему рассматриваем движение тела относительно двух систем отсчета, когда известны: положение точки B₂ в связанной с телом системой координат, определенное радиус-вектором ρ₂; скорость V_O1 начала подвижной системы координат O₁x₁y₁z₁ относительно неподвижной системы координат Oxyz (рис. 110) и угловая скорость ω₁ вращения подвижной системы координат в базовой системе координат с началом в O₁; скорость V_O2 начала связанной с телом системы координат в подвижной системе координат, угловая скорость ω₂ вращения твердого тела и связанной системы координат в базовой системе координат с началом в O₂. На рис. 110 базовые системы координат O₁x*₁y*₁z*₁, O₂x*₂y*₂z*₂ и связанная с телом система координат O₂x₂y₂z₂ не показаны.

Заметим также, что, так как оси поступательно движущихся базовых систем координат при движении остаются параллельными осям неподвижной системы координат, то проекции вышеуказанных векторов скоростей и угловых скоростей на оси базовых систем координат будут равны соответствующим проекциям на оси неподвижной системы координат. Кроме того, так как параметры сферического или углового движения не зависят от поступательного движения, то угловые скорости вращения подвижной системы координат и тела в базовых системах координат будут соответствовать угловым скоростям вращения в неподвижной системе координат.

Определим абсолютную скорость точки M тела. По теореме о сложении скоростей точки, участвующей в сложном движении,

(1)

Для определения относительной скорости точки останавливаем подвижную систему координат, принимая V_O1 = 0 и ω₁ = 0, и находим скорость точки M в подвижной системе координат по формуле скорости точки свободного твердого тела:

(2)

Для определения переносной скорости точки останавливаем твердое тело в подвижной системе координат (вмораживаем его в подвижную систему координат), принимая V_O2 = 0 и ω₂ = 0 , и находим скорость точки M в неподвижной системе координат по формуле скорости точки свободного твердого тела:

(3)

где r₁ - радиус-вектор, определяющий положение точки M в подвижной системе координат; O₁O₂ - вектор определяющий положение начала системы координат, связанной с телом, в подвижной системе координат (рис. 110).

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), после имеем

(4)

где V_O2O1 - скорость вращения точки O₂ вокруг точки O₁, равная

(5)

Обозначая в выражении (4) следующие суммы векторов как

(6)

получаем

(7)

Из (7) следует, что сложное движение тела при определении скоростей его точек мы представили одним результирующим движением, состоящим из движения полюса O₂со скоростью V₂ и вращения вокруг полюса с угловой скоростью Ω, которую часто называют абсолютной угловой скоростью.

Запишем выражения (4) и (7) в ином виде. Для этого записываем (5) как

(8)

Подставляя (8) в выражение (4), получаем

(9)

где m_O2(ω₂) - момент вектора угловой скорости тела относительно полюса, равный нулю, так как линия действия ω₂ проходит через точку O₂.

Можно распространить эти результаты и на движение твердого тела относительно n подвижных систем отсчета или n подвижных систем координат, последняя из которых - O_nx_ny_nz_n жестко связана с телом. Добавляя каждый раз к первой подвижной системе координат по одной системе координат и, вычисляя каждый раз абсолютную скорость, имеем

(10)

Так как моменты векторов угловых скоростей относительно центра или точки O_n являются скоростями, возникающими за счет переносных вращений начала O_n связанной системы координат вместе с подвижными системами координат, обозначаем их сумму как

(11)

а их сумму со скоростями начал подвижных систем координат обозначаем как

(12)

Сумму угловых скоростей называем по-прежнему абсолютной угловой скоростью и обозначаем ее как

(13)

Учитывая это, выражение (10) можно записать в двух следующих видах:

	(14)
	(15)

Из (14) следует, что при определении скоростей точек твердого тела его сложное движение относительно n подвижных систем координат можно представить в виде результирующего движения, которое состоит движения полюса O_n со скоростью V_n и вращения тела и связанной с ним системой координат O_nx_ny_nz_n вокруг полюса с абсолютной угловой скоростью Ω_n (рис. 111).

Выражение (15) подтверждает, что векторы угловой скорости являются скользящими векторами. Из выражений (14) и (15) следуют аналогии между кинематикой и статикой. Мы видим, что векторы угловых скоростей, образующие произвольную систему скользящих векторов, точно так же, как силы по основной теореме статики, приводятся к одному центру O_n. Абсолютная угловая скорость Ω_n, равная сумме угловых скоростей, является главным вектором, а вектор V_ω, равный сумме моментов угловых скоростей относительно центра приведения, является главным моментом системы угловых скоростей. То есть вектор угловой скорости в кинематике является аналогом силы в статике со всеми вытекающими отсюда аналогиями между кинематикой и статикой. В частности, мы уже показали аналогию между приведением угловых скоростей к центру в кинематике с теоремой Пуансо в статике. Можно сформулировать правило параллельного переноса вектора угловой скорости в кинематике по аналогии с леммой о параллельном переносе силы в статике и т.д. и т.д.