Вопрос 43(Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение. Векторное представление угловой скорости и углового ускорения)

Движение твердого тела, при котором две его точки О и О' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения.         Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО' (рис. 2.12).

  Рис. 2.12

       Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время  dt  точка М совершает элементарное перемещение  dr.         При том же самом угле поворота  dφ, другая точка, отстоящая от оси на большее или меньшее расстояние, совершает другое перемещение. Следовательно, ни само перемещение некоторой точки твердого тела, ни первая производная  , ни вторая производная   не могут служить характеристикой движения всего твердого тела.         За это же время dt радиус-вектор  , проведенный из точки 0' в точку М, повернется на угол  dφ. На такой же угол повернется радиус-вектор любой другой точки (т.к. тело абсолютно твердое, в противном случае расстояние между точками должно измениться).         Угол поворота  dφ  характеризует перемещение всего тела за время dt.         Удобно ввести   – вектор элементарного поворота тела, численно равный  dφ  и направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы, глядя вдоль вектора, мы видели вращение по часовой стрелке (направление вектора   и направление вращения связаны «правилом буравчика»).         Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:

Вопрос 44(Скорость и ускорение произвольной точки вращающегося тела)

Скорость точки

 Рассмотрим некоторые основные определения, важные для последующего изложения. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение называется равномерным.

Скорость равномерного движения v измеряется отношением пути s, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени

v = s/t .

Скорость измеряется в единицах длины, деленных на единицу времени: м/с, см/с, км/ч и т. д.; 1 км/ч = 0,278 м/с, 1 м/с = = 3,6 км/ч.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ее движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени

v = f (t) .  Рассмотрим точку М, которая перемещается по заданной траектории по некоторому закону s = f (t) (рис.а).

За промежуток времени t точка М переместится в положение М1 по дуге ММ1. Если промежуток времени t мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движения точки

 

Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке M1. Истинную скорость найдем путем перехода к пределу при t—»О

При t—»О направление хорды в пределе совпадает с направлением касательной к траектории в точке М, т. е. значение скорости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление (рис.б):

 Ускорение точки

 

При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.

Пусть точка М (рис.а) движется по какой-то криволинейной траектории и за время t переходит из положения М в положение M1. Расстояние, пройденное точкой, представляет собой дугу ММ1; ее длину обозначим s. В положении М точка имела скорость v, в положении M1 — скорость v1. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор v1.

Скорость точки при перемещении ее из положения М в положение M1 изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение скорости можно найти, разделив вектор приращения скорости v на соответствующее время движения:

Переходя к пределу при t—»О получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости:

 

 

Найденное ускорение характеризует изменение численного значения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскладывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касательной и нормали к траектории движения (рис.б)

Касательная составляющая  совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости:

Нормальная составляющая  перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяется по формуле:

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Составляющие  и  взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускоренияопределяется по формуле: