Вопрос 32(Центр параллельных сил и его координаты)

Центр параллельных сил и его координаты

Установим одно важное свойство точки приложения равнодействующей двух параллельных сил. Пусть в точках А и В на тело действуют параллельные силы   и   (рис. 42, а). Равнодействующая этих сил равна их сумме, параллельна им, направлена в ту же сторону, а ее линия действия делит прямую AВ на части, обратно пропорциональные этим силам (см. § 18), т.е. 

Повернем силы   и   на произвольный угол  , т. е. изменим их направление, сохранив параллельность. При этом равнодействующая останется равной их сумме, параллельной им, направленной в ту же сторону, а линия ее действия опять поделит прямую АВ на части, обратно пропорциональные величинам заданных сил. На рис. 42, а точкой С обозначено пересечение линии действия равнодействующей с линией АВ. Эта точка называется центром параллельных сил, и ее положение не зависит от направления слагаемых сил.

Любое тело можно рассматривать как состоящее из большого числа малых частиц, на которые действуют силы тяжести. Все эти силы направлены к центру Земли по радиусу. Так как размеры тел, с которыми приходится иметь дело в технике, ничтожно малы по сравнению с радиусом Земли (значение его около 6371 км), то можно считать, что приложенные к частицам силы тяжести параллельны и вертикальны. Следовательно, силы тяжести отдельных частиц тела образуют систему параллельных сил. Равнодействующую этих сил называют силой тяжести.

Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела, называется центром тяжести тела. Центр тяжести тела не меняет своего положения при повороте тела.

Выведем формулы для определения положения центра любой системы параллельных сил.

Пусть задана система параллельных сил  ,  ,  , ...,  ; координаты точек С1, С2, С3,..., Сn приложения этих сил известны (рис. 42, б). Обозначим точку приложения равнодействующей   буквой С, ее координаты обозначим xC, уС.  Как известно из предыдущего,

если среди заданных параллельных сил имеются силы противоположных направлений, то они будут иметь разные знаки. Иными словами нужно какое-либо направление принять за положительное и значение сил, совпадающих с этим направлением, подставлять в формулу (30) со знаком плюс, а значения сил противоположного направления — со знаком минус.

Так как положение центра параллельных сил не зависит от их направления, повернем все заданные силы на угол   по часовой стрелке так, чтобы они стали параллельны оси у (рис. 42, б). Равнодействующая при этом также повернется на угол    в ту же сторону.

Вопрос 33(Центр тяжести тела и его координаты. Способы определения положения центра тяжести)

Центр тяжести – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил (Е. М. Никитин, § 42). Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:  x_c =(∑G_ix_i)/∑G_i;  (1)y_c =(∑G_iy_i)/∑G_i;  z_c = (∑ G_iz_i) / ∑ G_i.

Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес G_i каждого отрезка l_i можно представить в виде произведения  G_i =l_id,  где d – постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.

После подстановки в формулы (1) вместо G_i их значений l_id постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий, примут вид:  x_c =(∑l_ix_i)/∑l_i;  (2)y_c =(∑l_iy_i)/∑l_i;  z_c = (∑ l_iz_i) / ∑ l_i.

Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174), то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:  G_i =F_ip,  где F_i – площади каждой поверхности, а p – вес единицы площади фигуры.

После подстановки этого значения G_i в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:  x_c =(∑F_ix_i)/∑F_i;  (3)y_c =(∑F_iy_i)/∑F_i;  z_c = (∑ F_iz_i) / ∑ F_i.

Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части  G_i = V_iγ,  где V_i – объем каждой части, а γ – вес единицы объема тела.