Вопрос 27(Момент силы относительно центра как вектор. Векторная формула для нахождения момента силы)

Моменты силы относительно центра и оси

Момент силы относительно центра О определяется:

1. Модулем силы F и длиной плеча h.

2. Плоскостью поворота ОАВ.

3. Направлением поворота в плоскости.

Если силы произвольно располагаются в пространстве (рис. 30  ), по плоскости поворота различны и должны задаваться дополнительно. Положение плоскости ОАВ можно определить, задавая вектор-нормаль перпендикулярный (плоскости) ей. Если модуль этого вектора выбирать равным модулю момента силы, то направив его так, чтобы он показывал направление поворота силы, получим, что все три условия будут выполнены.

Итак: момент   силы F относительно центра О изображается приложенным в центре О вектором  , равным по модулю произведению модуля силы   на плечо h и перпендикулярным плоскости ОАВ, проходящей через   и О. Направлять вектор   будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против ходa часовой стрелки.

Выразим момент силы с помощью векторного произведения. По определению векторное произведение   равно

так как   то же равен  .

Направлен вектор   перпендикулярно плоскости ОАВ как и вектор  . Следовательно векторы   и   совпадают как по величине так и по направлению, то есть изображают одну и ту же величину. Отсюда

где   радиус вектор точки А относительно центра О.

То есть, момент силы F относительно центра О равен векторному произведению радиус-вектора  , соединяющего точку О с точкой приложения силы А, на саму силу.

Рассмотрим теперь момент силы относительно оси (рис. 31  ).

Пусть данное тело вращается вокруг оси Oz и пусть сила   приложена в точке А. Проведем через точку А плоскость (ху) перпендикулярную Oz. Разложим силу   на две составляющие   и  . Составляющая   параллельна оси Оz и не может повернуть тело вокруг Oz. Таким образом, вращение дает составляющая   и

Для   принадлежащей плоскости Оxy и перпендикулярной оси Oz вращательный эффект равен произведению модуля силы на плечо h. Но этой же величиной измеряется момент силы относительно точки (центра) О.

Следовательно:

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Если с вершины оси Oz вращение тела видим против хода часовой стрелки, то момент берем со знаком плюс (+), иначе - знак минус (-).

Замечания:

1. Если сила параллельна оси, то ее момент равен нулю.

2. Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент равен нулю.

3. Если сила перпендикулярна оси, то ее момент равен произведению модуля силы на расстояние до оси.

Для получения аналитического выражения моментов силы относительно осей координат, спроектируем силу   на плоскость Оху и разложим  на составляющие   и  . (рис. 32  )

Аналогично можно записать для двух других осей.

Рассмотрим каким же образом осуществляется зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси.

Пусть в точке А на тело действует сила   (рис. 33  ).

Моментом силы относительно произвольной точки О лежащей на оси Z, будет вектор   перпендикулярный плоскости ОАВ.

Проведем через   плоскость ху перпендикулярную  . Спроектируем   на плоскость  :

Момент силы   относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси.