- •Лекции по математическим основам принятия оптимальных технических решений
- •1.Лекции по курсу математические основы
- •1.4. Этапы процесса принятия решений
- •1.5. Классификация задач принятия решений
- •1.6. Основные принципы принятия решений.
- •2. Оптимизация систем.
- •2.1 Постановка задачи оптимизации
- •2.3.Понятие о свойствах целевой и ограничивающих функций
- •2.4.Определение линейной системы.
- •2.5. Формальные методы построения математических моделей. Выбор факторов и переменных состояния объекта исследования
- •2.6. Планирование эксперимента
- •2.6.1.Обработка экспериментальных данных.
- •2.6.2.Полный факторный эксперимент.
- •3. Классификация методов оптимизации
- •3.1.Классификация задач оптимизации.
- •3.2.Одномерная оптимизация
- •3.2.1. Метод сканирования
- •3.2.4. Метод параболической аппроксимации
- •3.3. Многомерная оптимизация. Концепция методов.
- •3.4. Многомерная безградиентная оптимизация
- •3.8. Многомерная градиентная оптимизация
- •3.9. Методы оптимизации 1-ого порядка
- •4. Постановка задачи многокритериальной оптимизации
- •1.6 Многопараметрическая оптимизация.
- •5.Обобщенная модель управления запасами
- •6. Классическая статическая модель
- •7. Задача экономичного размера заказа с разрывами цен
- •8.Многопродуктовая статическая модель управления запасами с ограничениями вместимости.
- •9. Динамическая модель управления запасами при отсутствии затрат на оформление.
- •10. Модель управления запасами с затратами на оформление заказа.
- •11.Понятие игры. Характеристика игры. Цена игры.
- •12. Классификация игр. Определение седловой точки.
- •13.Определение смешанной стратегии. Решение игры 2*2 в смешанных стратегиях.
- •14.Типы критериальных функций в играх с природой.
- •15.Классические критерии принятия решений в играх с природой.
- •16.Производные критерии принятия решений в играх с природой
- •17.Шкала. Определение. Виды.
- •18.Экспертные методы получения количественных оценок альтернатив.
- •19.Экспертные методы получения качественных оценок альтернатив.
- •20.Метод анализа иерархий. Этапы.
- •21.Метод анализа иерархий. Шкала.
- •22.Метод анализа иерархий. Калибровки.
- •23.Метод анализа иерархий. Вектора приоритетов.
- •24.Метод анализа иерархий. Оценка согласованности.
2.6. Планирование эксперимента
Пассивный и активный эксперимент. Метод наименьших квадратов позволяет получить описание объекта по любым данным, лишь бы матрица системы нормальных уравнений была невырожденной. Поэтому с появлением ЭВМ возникла идея — получать математические описания технологических процессов, пользуясь в качестве исходных данных результатами нормальной эксплуатации процесса.
В реальных условиях технологический процесс все время испытывает случайные колебания режима. Сегодня значения контролируемых факторов—несколько иные, чем вчера, а завтра будут еще немного другими. Нельзя ли каждое изменение режима рассматривать как эксперимент, и, обработав совокупность таких «экспериментов» методом наименьших квадратов, получить описание процесса, а затем использовать это описание для управления и оптимизации? Такой подход получил название пассивного эксперимента. Достоинство пассивного эксперимента —отсутствие затрат на опыты: данные получаются «сами собой». Но надежды, возлагавшиеся на этот метод, в большинстве случаев не оправдались.
Анализ неудач пассивного эксперимента выявил несколько их причин.
Во-первых, в нормальных условиях колебания режима малы, опытные точки находятся близко одна к другой. Хорошо известно, что чем ближе опытные точки, тем сильнее влияют на описание случайные ошибки. Действительно, различия в получаемых значениях отклика при этом малы, и эти малые различия плохо выделяются на фоне шума—случайных ошибок. Поэтому значения коэффициентов регрессии оцениваются со значительными ошибками.
Во-вторых, в пассивном эксперименте факторы сильно коррелированны. Это делает крайне ненадежным анализ влияния отдельных факторов—всегда может оказаться, что влияет не данный фактор, а другой, с ним коррелированный.
В-третьих, сами значения факторов в производственных условиях часто измеряются с заметными ошибками; поэтому применение метода наименьших квадратов в его обычном варианте становится некорректным.
В связи с этим в теории эксперимента любой эксперимент, при планировании которого не учтено влияние плана эксперимента на статистические свойства получаемых оценок, часто называют пассивным. Ему противопоставляют активный эксперимент, в основе которого лежит планирование эксперимента.
Планы экстремального эксперимента. Проектировщики наиболее широко пользуются планами так называемого экстремального эксперимента, разработанными для определения оптимальных условий протекания процессов в объектах исследования. Оптимум определяется по математической модели объекта исследования, которую ищут в виде полиномиального уравнения:
если объект характеризуется одной переменной состояния. Логику появления полинома как математической модели объекта исследования можно объяснить следующим
образом. Исследователь полагает, что математическую модель объекта принципиально можно представить дифференциальными уравнениями. В общем виде искомое решение можно представить функцией:
y= F (X,), (2)
где у—переменная состояния объекта исследования; Х—матрица факторов; — матрица коэффициентов. Коэффициенты полинома можно интерпретировать как коэффициенты ряда Тейлора, в который «удается» разложить решение в окрестностях некоторой точки.
Пользуясь статистическими методами и учитывая конечность экспериментальных данных, можно получить оценки коэффициентов регрессии - b в уравнении (1).
Уравнение (1)называют уравнением регрессии и широко используют для получения математической модели объекта исследования.