Пропозициональная логика

Для понятия ``высказывание'' иногда используют термин ``пропозиция'', что является калькой с английского. Мы этот термин не используем, но говорим ``пропозициональный'' в смысле относящийся к логике высказываний. Центральными понятиями данной части являются пропозициональные формулы и пропозициональный вывод.

Объектный язык и метаязык

Сначала несколько общих замечаний. В логике важно различать два языка: тот, который является объектом нашего изучения, и тот, который мы используем, чтобы говорить об этом объекте. Первый называется объектным языком, второй – метаязыком. В нашем изложении логики высказываний объектный язык – это формальный язык пропозициональных формул, а метаязык – обычный неформальный язык математики – смесь русского и математических обозначений.

Пропозициональные формулы будут определены как конечные последовательности символов, взятых из определенного алфавита. Можно развить теорию конечных последовательностей на строго аксиоматической основе, но мы не будем здесь делать это. В доказательствах метатеорем мы будем свободны использовать любые хорошо известные свойства натуральных чисел которые нам могут потребоваться, не доказывая их на основе аксиом арифметики (из части 1).

Пропозициональные формулы

Пропозициональная сигнатура – это множество символов, называемых атомами. Символы ¬ (отрицание), & (конъюнкция),  (дизъюнкция) и  (импликация) называютсяпропозициональными связками; ¬ – унарная связка, а другие – бинарные.

Возьмём непустую пропозициональную сигнатуру  , которая не содержит ни пропозициональных связок, ни скобки (, ). Алфавит пропозициональной логики состоит из атомов сигнатуры, пропозициональных связок и скобок. Под строкой мы понимаем конечную последовательность (строку) символов в этом алфавите.

Чтобы определить понятие пропозициональной формулы, нам требуется следующее вспомогательное определение.

Определение 7. Множество X строк замкнуто относительно правил построения (для логики высказываний), если

• каждый атом принадлежит X,

• для любой строки F, если F принадлежит X, то ¬F тоже принадлежит,

• для любых строк F, G и любой бинарной связки , если F и G принадлежат X, то также принадлежит (F  G).

2.1 Укажите два примера множества строк: одно замкнутое, другое не замкнутое относительно правил построения.

Определение 8 (Формула). Строка F называется пропозициональной формулой, если F принадлежит всем множествам, которые замкнуты относительно правил построения.

2.2 Множество формул замкнуто относительно правил построения.

Определение формулы показывает, что множество формул является наименьшим множеством строк, замкнутых относительно правил построения; то есть, любое другое такое множество включает в себя множество формул.

В двух следующих задачах мы предполагаем, что рассматриваемая сигнатура – это {p, q}.

Следующие два раздела обосновывают корректность понятий, вводимых ниже.

Доказательство свойств формул по индукции

Разбор формул

Семантика

В этом и следующем разделах мы работаем с  булевыми функциями, которые используются в интерпретациях формул логики высказываний.^*

Определение 10 (Интерпретация). Символы л,и (``ложь'', ``истина'') называются истиностными значениями. Интерпретация пропозициональной сигнатуры  есть функция из  в {л,и}.

Если  конечна, тогда интерпретация может быть определена таблицей её значений, например:

p q л и

(3)

Семантика логики высказываний, которую мы собираемся ввести, определяет какие истиностные значения назначены формуле F интерпретацией I.

Прежде всего нам надо связать функцию с каждой пропозициональной связкой – функцию из {л,и} в {л,и} с унарной связкой ¬ и функцию из {л,и} {л,и} в {л,и} с каждой бинарной связкой. Функции определяются следующими таблицами:

x ¬(x) л и и л

x y &(x, y) (x, y) (x, y) л л л л и л и л и и и л л и л и и и и и

^*

Для любой формулы F и любой интерпретации I истиностное значение F^I , назначенное формуле F интерпретацией I, определяется как значение  суперпозиции соответствующих булевых функций, а именно, следующим образом:

• F^I = I(F) если F – атом,

• (¬F )^I = ¬(F^I),

• (F  G)^I = (F^I,G^I) для каждой бинарной связки .

Заметим, что это определение рекурсивно: (¬F)^I определяется через F^I и (F  G)^I – через F^I и G^I.

Если F^I = и, мы говорим, что формула F истинна при интерпретации I (символически I |= F ).

2.10 Найдите формулу F такую, что (3) – единственная интерпретация, при которой F истинна.

Если рассматриваемая сигнатура конечна, тогда множество интерпретаций тоже конечно, и значения F^I для всех интерпретаций можно представить в виде конечной таблицы. Эта таблица называется таблицей истинности формулы F. Например, предыдущая задача может быть сформулирована следующим образом: найти формулу, таблицей истинности которой является

p	q
л	л	л
л	и	и
и	л	л
и	и	л

Другими словами, любая таблица истинности может быть представлена пропозициональной формулой. В этом смысле множество пропозициональных связок, которое мы ввели ``полно''.

Нормальные формы

Определение 11 (Эквивалентность). Формула F эквивалентна формуле G, если F^I = G^I для любой интерпретации I.

В задачах 2.16, 2.18 и 2.20 мы вводим несколько ``нормальных форм'' таких, что любая пропозициональная формула может быть эквивалентно трансформирована в любую из этих форм.

В сочетании с результатом задачи 2.14 этот факт показывает, что множества { , ¬ }, { &, ¬ } и { , ¬ } – ``полные'' множества связок – они достаточны для выражения любой таблицы истинности. С другой стороны, множество {  } не ``полное'':

2.17 Предполагая, что p – атом, покажите что любая формула, эквивалентная ¬p, содержит по крайней мере одно отрицание. см. Указания

Литерал – это атом или отрицание атома. Элементарная конъюнкция – это формула вида L1& ··· & L_n (n  1), где L1,...,L_n – литералы. Будем говорить, что формула находится вдизъюнктивной нормальной форме, если она имеет вид C1  ···  C_m (m  1), где C1, ..., C_m – элементарные конъюнкции..

Выполнимость

Определение 12 (Выполнимость). Если существует интерпретация, при которой формула F истинна, мы говорим, что F выполнима.

Эта терминология применима также к множествам формул: множество  формул выполнимо, если существует интерпретация, при которой истинны все формулы .

2.21 Пусть  – множество литералов. Покажем, что  выполнимо тогда и только тогда, когда не существует атома A, для которого и A и ¬A принадлежат .

Для любого атома A литералы A, ¬A называются дополнительными друг к другу. Так, утверждение последней задачи может быть выражено следующим образом: множество литералов выполнимо тогда и только тогда, когда оно не содержит дополнительных пар.

Логическое следование

Мы сейчас определим в контексте логики высказываний, когда формула F ``следует'' из множества формул . Идея следования центральна в логике: в любой формальной аксиоматической теории ``теорема'' – это формула, которая следует из аксиом.

Определение 13 (Логическое следование). Формула F (логически) следует из множества формул  (или множество формул  влечёт формулу F, символически,  |= F ), если для каждой интерпретации, при которой все формулы  истинны, формула F также истинна.^*

Про формулы, которые логически следуют из  будем говорить ``логическое следствие ''.

Определение 14 (Тавтология). Формула F называется тавтологией, или тождественно истинной формулой, если F истинно при любой интерпретации.^*

Понятие тавтологии ``двойственно'' понятию выполнимой формулы: F – тавтология тогда и только тогда, когда ¬F не выполнима. Определение эквивалентных формул, данное выше, может быть переформулировано следующим образом: F эквивалентна G, если F  G – тавтология.

Пропозициональный вывод

Существует другое определение следования, которое выглядит совершенно отличающимся от данного выше, но в действительности эквивалентное ему. В соответствие с этим определением,  влечёт F, если F может быть выведено из  с использованием определенного набора ``правил вывода''. Первое определение, основанное на интерпретации, – ``семантическое'', второе, основанное на понятии вывода – ``синтаксическое'' или ``дедуктивное''.

О корректности, полноте и разрешимости

Выводы в логике высказываний – наш основной объект изучения до конца данной части.

Вывод строятся из конструкций, которые называются ``секвенциями''.

Определение 15 (Секвенция). Секвенция – это выражение вида  |– F (``F при посылках '') или  |–  (``посылки  противоречивы''), где F – формула и  – конечное множество формул. ^*

Мы определим, какие секвенции рассматриваются ``начальными'', и опишем несколько ``правил вывода'' для порождения новых секвенций из секвенций, порождённых ранее. Начальные секвенции называются аксиомами.

Определение 16 (Аксиомы). Аксиомы в исчислении высказываний имеют вид

{ F } |– F.

Мы определим 12 правил вывода, и удобно вводить их постепенно.

Предполагая, что это уже сделано, определим понятие вывода. Выводы у нас будут представляться в виде деревьев доказательства.

Определение 17 (Дерево доказательства). Дерево доказательства определим рекурсивно:

1. Деревом доказательства является пустое дерево доказательства, состоящее только из корня – аксиомы.

2. Пусть T1, ..., T_k – деревья доказательства с корнями R1, ..., R_k. Тогда

   T1 ... Tk

   

3. (где  – некоторая секвенция) – дерево доказательства, если  может быть получена из R1, ..., R_k с помощью одного из правил вывода. Корнем такого дерева является .

Определение 18 (Доказуемая секвенция). Если существует дерево доказательства с корнем R, то R называют доказуемой секвенцией. Если этот корень имеет вид  |– F, то говорят о выводе формулы F из .

В соответствие с дедуктивным определением следования говорят, что F следует из , если существует вывод F из подмножества .

Правила для конъюнкции и импликации

 |– F    |– G (В&)  |– F & G	 |– F & G (У&)  |– F  |– F & G  |– G
 { F } |– G (В)  |– F  G	 |– F    |– F G (У)  |– G

В каждом из этих пяти правил вывода, одно или два выражения над горизонтальной чертой представляют ``посылки'', к которым правило может быть применено, и выражение под чертой представляет ``заключение'' которое выводится по этому правилу. Правила В& и В – ``правила введения'' конъюнкции и импликации; У& и У – ``правила удаления''. Подставляя конкретные формулы вместо метапеременных F и G и конкретные конечные множества формул вместо метапеременной  некоторое правило вывода, мы получаем пример этого правила. Например,

{q, r} |– p   {p  q, r} |– ¬q

{q, r, p  q} |– p & ¬q

есть пример правила введения конъюнкции.

Пример простого вывода. . Выведем формулу q из посылки p & q. Этот вывод получается за один шаг с помощью второго правила удаления конъюнкции.

	{q} |– q
(У&)
	{p & q} |– q



2.26 Найдите вывод q & p из p & q.

см. Решение

В двух следующих задачах выведите данную формулу из пустого множества посылок.

2.27 (p & p)  p.

2.28 (p & p)  p.

Правило введения посылки

Мы построили несколько примеров простых выводов. Однако, используя только правила для конъюнкции и импликации, мы не сможем построить вывод формулы p & q из множества посылок {p, q}. Действительно, формулу {p, q} |– p & q мы можем получить с помощью правила (В&) из формулу {p, q} |– p и формулу {p, q} |– q. Однако ``очевидные'' формулы {p, q} |– p и {p, q} |– q мы не сможем вывести. У нас нет правила, позволяющего выводить формулу из некоторого множества посылок, если она выводится из более узкого множества. Это правило вывода назовём правилом введения посылки.

	 |– F
(ВП)
	 {G} |– F

Пример вывода. Мы приводим вывод p  ((p  q)  (p & q)) из пустого множества посылок:

	{p} |– p (ВП) {p,p  q} |– p {p} |– p (ВП) {p,p  q} |– p {p  q} |– p  q (ВП) {p,p  q} |– p  q (У) {p,p  q} |– q
(В&)
	{p,p  q} |– p & q (В) {p} |– (p  q)  (p & q) (В)  |– p  ((p  q)  (p & q))



Корректность правил вывода

Определение 19 (Истинность секвенций). Секвенция  |– F тождественно истинна, если  влечёт F.^*

Определение 20 (Корректность правил вывода). Правило вывода корректно, если для каждого примера этого правила посылки которого являются тождественно истинными, его заключение также тождественно истинно.

Правила для отрицания и правила противоречия

Следующие четыре правила вывода – правила введения и удаления отрицания ``правило сведения к противоречию'' и ``правило противоречия''.

 { F } |–  (В¬)  |– ¬F	 { ¬F } |–  (У¬)  |– F
 |– F    |– ¬F (В)  |– 	 |–  (У)  |– F

Определение 21 (Истинность секвенций). Секвенция  |–  тождественно истинна, если  не выполнимо.

Правила для дизъюнкции

Оставшиеся три правила вывода – правила введения и удаления дизъюнкции:

 |– F (В )  |– F  G

 |– G  |– F  G

	 |– F  G  F |– C  G |– C
(У )
	 |– C

Здесь F и G – формулы, и C – либо формула, либо .

Теперь описание системы вывода для логики высказываний завершено.^*

Мы рекомендуем строить деревья доказательства, начиная с корней (т.е. с формул, которые надо вывести) и постепенно нарашивая дерево, добиваясь, чтобы конечными формулами в дереве были аксиомы.

О том, как строить дерево доказательства.

Корректность и полнота логики высказываний

Теорема корректности. Если существует вывод F из , тогда  логически влечёт F.

Теорема полноты. Для любой формулы F и любого множества формул , если  влечёт F, тогда существует вывод F из подмножества .

Полнота логики высказываний (для другого множества правил вывода) была установлена Емилем Постом в 1921 году.

Следующая часть