Начала формальной логики

Форма́льная ло́гика — конструирование и исследование правил преобразования высказываний, сохраняющих их истинностное значение безотносительно к содержанию входящих в эти высказывания понятий. 

Математическая (формальная) логика — это наука, которая занимается анализом суждений и доказательств, используемых человеком для обоснования нового знания, произведенного из установленных фактов.

В логике используется специально созданный формализованный язык, подчиняющийся своей системе анализа. Можно считать, что логика ищет и исследует схемы рассуждений, которые верны в силу одной их формы, независимо от содержания.

Отвлечение от содержания предложений языка в формальной логике есть результат применения операции абстрагирования к рассуждениям естественного языка. Абстрагирование является основным этапом при построении математической модели, оно широко используется в науке для выборочного исследования некоторых аспектов исследуемой проблемы. Цель абстрагирования — выделение тех аспектов, которые существенны для исследования и решения проблемы и игнорирование тех аспектов, которые несущественны, усложняют проблему, делают анализ менее общим или вообще невозможным.

Приоритет операций Исчисление высказываний

Для описания объектов предметной области используются константы и переменные, которые могут принимать только два значения: ИСТИНА (TRUE) и ЛОЖЬ (FALSE)

Алфавит логики высказываний:

• ƒ Двух констант ИСТИНА и ЛОЖЬ

• ƒ Логических переменных, записываемых буквами и цифрами

• ƒ Логических операторов

• ƒ Операторов очередности

Предложения строятся по правилам:

• ƒ любая логическая переменная или константа есть формула;

• ƒ если L есть формула, то (L) тоже есть формула;

• ƒ если L есть формула, то ~L тоже есть формула;

• ƒ если L1 и L2 являются формулами, то выражения L1&L2, L1 | L2 тоже есть формулы;

• ƒ если X есть переменная и L есть формула, то выражения L→X тоже есть формула.

Формула, которая не содержит логические связки, называется атомарной, а формула, истинная на всех наборах значений своих аргументов, — общезначимой.

Законы в логике высказываний:

• ƒ Коммутативности

• ƒ Дистрибутивности

• ƒ Ассоциативности

• ƒ двойного отрицания

• ƒ Де Моргана

Аксиомы

• ƒ L1 → (L2→L1)

• ƒ (L1&L2) → L1

• ƒ (L1 → L2) → ((L1→ (L2 → L3)) → (L1 → L3))

• ƒ (L1 → L3) → ((L2 → L3) → ((L1 | L2) → L3))

Исчисление высказываний - доказательства или опровержения теорем, под которыми понимается произвольная формула Формальное доказательство - конечная последовательность формул L1,...Li,...Lк, такая, что каждая формула выводима посредством правил вывода из предыдущих формул:

L1 => L2 => … Li … => Lк

Логика 

Фактически, логика — это множество правил манипулирования формулами, представляющими формы рассуждений с игнорированием их смысла.

Концептуальная модель 

Концептуа́льная моде́ль  — это определённое множество понятий и связей между ними, являющихся смысловой структурой рассматриваемой предметной области.

Концептуальная модель — модель предметной области, состоящей из перечня взаимосвязанных понятий, используемых для описания этой области, вместе со свойствами и характеристиками, классификацией этих понятий, по типам, ситуациям, признакам в данной области и законов протекания процессов в ней. (Толковый словарь по искусственному интеллекту)

Концептуальная (содержательная) модель — это абстрактная модель, определяющая структуру моделируемой системы, свойства её элементов и причинно-следственные связи, присущие системе и существенные для достижения цели моделирования.

Сигнатура предметной области 

Сигнатурой называется набор   состоящий из множеств:

•  — множество символов для отношений (предикатов),

•  — множество функциональных символов,

•  — множество символов констант

• и функции   — сопоставляющей элементам   и   их арность.

Логика предикатов  --> предикат, функция, константа 

Широкие возможности для представления и моделирования рассуждений в предметной области:

• Переменные, которые могут принимать в качестве своих значений подобные идентификаторы (константы) называются лингвистическими (Например: Компьютер, Процессор, Оперативная_память и т.д.);

• Предикаты - логические функции от одной или нескольких переменных, выражающих существующие отношения и зависимости между объектами.

Пример: Зададим переменные Событие, Агент, Помещение и соответствующие им значения (константы): Событие, {Пожар_в_здании, …}; Агент, {ИА1, ИА2, … ИАn}; Помещение, {Ауд. 1, Коридор_около_выхода, … , Крыша}. Предикаты связи, действия и события: Находится ( Агент, Помещение ); Выйти_из_здания ( Агент ); Произошло_событие (Событие).

Преимущество логики редикатов:

• Задание двуместных (бинарных) отношений

• Задание многоместных отношений

Выражения общих свойств группы объектов:

• Кванторы существования (∃) означает справедливость формулы или терма для отдельного значения переменной

• Кванторы всеобщности (∀) означает справедливость формулы или терма для всех возможных значений переменных

Кванторы можно комбинировать между собой

Многосортное исчисление        a: B1xB2x...xBn --> C        где B, C - сорты, B1xB2 - множество пар, --> сиквенция,        С = T{0; 1} тогда а - предикат        С произвольное, n != 0 тогда а - функция        С произвольное, n = 0 тогда а - const 

В зависимости от типа сущностей, составляющих допустимые в теории области пробега квантифицируемых переменных, различают логику предикатов первого порядка и логику предикатов высших порядков. В первопорядковой логике имеется лишь один тип квантифицируемых переменных — предметные (индивидные) переменные, возможными значениями которых являются индивиды, отдельно взятые предметы (люди, города, числа и т. п.). В логике предикатов второго порядка дополнительно вводятся переменные, пробегающие по признакам индивидов — их свойствам и отношениям между ними (эти переменные тоже разрешается связывать кванторами, получая выражения типа WA — ―Для всякого свойства P верно, что A‖, 3RA. — ―Существует отношение R, такое что А‖); в логике предикатов третьего порядка разрешается квантификация по признакам признаков индивидов и т. д. Выделяют также односортные и многосортные системы логики предикатов: в односортной все переменные, принадлежащие к одному и тому же типу, имеют одинаковую область пробега; в многосортной с каждой переменной связывается собственное множество ее возможных значений.