5. Вычисление оригиналов для изображений
Пример 26.
.
Найти оригинал
.
Решение.
Изображение
можно представить в виде произведения
двух изображений
и
.
По теореме о свертке
.
Здесь использована формула суммы членов
геометрической прогрессии
.
Этот пример
можно было решить иначе, используя метод
неопределенных коэффициентов для
разложения на элементарные дроби.
Внимательно посмотрев на
изображения
в таблице, видим, что в числителе всех
дробей можно вынести
.
После этого останутся дроби похожие на
элементарные. Итак, забираем
“ про запас “ и в оставшейся дроби
обозначаем
.
Получаем
.
Разложим эту дробь на сумму элементарных.
.
Приравняв числители этих дробей, применим
метод подстановки.
.
Подставим найденные
коэффициенты в разложение и заменим
на
.
Пример 27.
.
Найти
.
Решение.
Обозначим
и разложим дробь
на простейшие. (Опять оставляем
« про запас»).
Приравниваем числители дробей.
Применим метод подстановки.
В два последних
равенства подставим значения коэффициентов
и
,
и получим систему уравнений.
Подставляем коэффициенты в разложение.
Следовательно,
.
По формулам 3 и 21 находим:
Следовательно,
Пример 28.
.
Найти
.
Решение.
Так как знаменатель не раскладывается
на множители, сравним его с формулами
в таблице
преобразований.
Последнее слагаемое в знаменателе равно
единице, следовательно, могут подойти
формулы 4-7. Так как в числителе нет
слагаемого
,
то остаются только формулы 4 и 6. Попробуем
определить, при каком значении
получается исследуемый знаменатель в
формуле 4.
Вспомним, что
