1.1. Теоретические основы оценки денежных потоков

Концепция денежного потока.

Существуют различные модельные представления предприятия. Одна из моделей – представление предприятия как совокупности чередующихся притоков и оттоков денежных средств.

В основе концепции — логичная предпосылка о том, что с любой финансовой операцией может быть ассоциирован некоторый денежный поток, т.е. множество распределенных во времени выплат (оттоков) и поступлений (притоков) денежных средств.

Любой инвестиционный проект есть, прежде всего, генератор денежного потока, представляющего совокупность притока и оттока денежных средств в разрезе выделенных временных периодов. В качестве элемента денежного потока могут выступать доход, расход, прибыль, платеж и др. В подавляющем большинстве случаев речь идет об ожидаемых денежных потоках. Именно для таких потоков разработаны формализованные методы и критерии, позволяющие принимать обоснованные решения финансового характера.

Концепция денежного потока предполагает идентификацию денежного потока, его продолжительность и вид; оценку факторов, определяющих величину его элементов; выбор коэффициентов дисконтирования, позволяющих сопоставлять элементы потока, генерируемые в различные моменты времени; оценку риска, связанного с данным потоком и способ его учета.

Денежный поток это совокупность единичных платежей (CF_t), генерируемых в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида актива. Практически любая финансовая операция (FO) может быть выражена в терминах денежного потока и описана следующей моделью:

FO = {V,CF_t,,r,n,t=1,2,…n} _,

где V – некоторая стоимостная оценка, отражающая суть операции (например, это может быть будущая стоимость денежного потока, дисконтированная стоимость денежного потока, текущая рыночная цена актива, величина инвестиции);

CF_t – t – й элемент денежного потока;

r – некоторая ставка (например, ставка дисконтирования, доходность финансовой операции, среднерыночная норма прибыли по некоторому классу активов или рынку в целом и др.)

n – продолжительность финансовой операции, т.е. число равных базисных интервалов (чаще всего это год), которое может быть как конечным, так и бесконечным.

Предполагается, что элементы денежного потока однонаправлены, временные периоды равные.

В зависимости от момента поступления платежа различают следующие виды потоков:

поток пренумерандо (поток авансовых платежей) – платежи осуществляются в начале временного интервала,

CF1 CF2 CF3 CFt CFn

0 1 2 t n-1 n

поток постнумерандо – платежи производятся в конце временного интервала.

CF1 CF2 CFt CFn

0 1 2 t n

Последовательность равных по величине платежей, которые производятся через фиксированные интервалы времени на протяжении заданного срока, получила название аннуитет (рента, финансовая рента).

Выделяют следующие виды аннуитета:

обычный или отсроченный (постнумерандо);

CF1 CF2 CF3 CFt CFn

0 1 2 t n

ускоренный (пренумерандо) аннуитет.

CF1 CF2 CF3 CFt CFn

0 1 2 t n -1 n

Аннуитеты могут быть срочные и бессрочные. Аннуитеты называются бессрочными (перпетуитеты), если они предполагают платежи в течение неограниченного времени.

К одной из разновидностей аннуитетов относят нарастающие аннуитеты. Обычно аннуитеты определяются как ряд постоянных платежей, однако нарастающий аннуитет определяет поток платежей, которые нарастают с постоянным темпом на протяжении определенного количества периодов.

С концепцией денежного потока неразрывно связана Концепция временной ценности денежных ресурсов

Концепция временной ценности

Концепция временной ценности денежных ресурсов заключается в том, что денежная единица, имеющаяся сегодня, и денежная единица, ожидаемая к получению через какое-то время, не равноценны, а именно «рубль завтра» по своей ценности всегда меньше «рубля сегодня».

Подобная неравноценность определяется тремя основными причинами: инфляцией, риском неполучения ожидаемой суммы и оборачиваемостью.

В силу инфляции происходит обесценение денег, т. е. денежная единица, получаемая позднее, имеет меньшую покупательную способность.

В экономике практически всегда существует риск, вероятность того, что по каким-либо причинам ожидаемая к получению сумма не будет получена.

Сумма, имеющаяся в наличии в данный момент времени, может быть немедленно пущена в оборот, в результате чего принесет дополнительный доход по сравнению с денежной суммой, которая, возможно, будет получена в будущем.

Операции наращения и дисконтирования

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление некоторой суммы PV в долг с условием, что через время t будет возвращена большая сумма FV. Результативность такой сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя — прироста (FV-PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя.

Абсолютные показатели не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости по объему затрат и времени за который получен этот прирост. Поэтому используются относительные показатели - специальные коэффициенты, определяющие темп изменения относительно базовой суммы, в качестве которой, можно взять либо PV, либо FV.

Если в качестве базовой суммы выбирается PV , принято говорить о темпе прироста за период времени t

r_t = (FV - PV)/ PV, (1)

если же за базовую сумму выбирается FV, то говорят о темпе снижения суммы за период времени t

d_t = (FV - PV)/ FV. (2)

Эти показатели взаимосвязаны следующими зависимостями:

r_t = d_t / (1 - d_t), или d_t = r_t / (1 + r_t )

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах.

В финансовых вычислениях процесс возрастания будущей суммы называется процессом наращения, искомая величина — наращенной суммой, а используемая в операции заданный темп прироста — ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и темп снижения, называется процессом дисконтирования, искомая величина — приведенной суммой (стоимостью), а темп снижения — ставкой дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором — о движении от будущего к на­стоящему (рис.1)

Рис. 1. Логика финансовых операций

Смысл финансовых расчетов состоит в том, чтобы при заданных ставках определить величину той суммы, которую будет иметь инвестор после завершения финансовой операции.

FV = PV (1+ r_t) или PV = FV (1– d_t) (3)

Понятие простого и сложного процента

При передаче денег в долг, их владелец получает доход в виде процентных платежей, величина которых зависит от времени кредитования от процентной ставки и от схемы начисления.

Стандартным интервалом времени в финансовых операциях является 1 год, поэтому наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки с однократным начислением суммы процентов за годовой период. Если срок финансовой операции превышает 1 год, то общая сумма процентных платежей будет зависеть от схемы начисления.

Применяются две схемы начисления процентных платежей:

• схема простых процентов;

• схема сложных процентов.

При начислении платежей по схеме простого процента базовая сумма, относительно которой определяется сумма процентного платежа за любой интервал в течение всего времени финансовой операции остается неизменной, равной сумме долга.

FV= PV + PV ×r +… + PV ×r = PV (1+ n r), (4)

где n – число периодов времени кредитования, в годах;

r – годовая процентная ставка.

Схема сложного процента характеризуется тем, что процентный платеж начисляется как на основную сумму долга, так и на процентные платежи, полученные в предшествующие периоды начисления и невостребованные кредитором (инвестором):

после 1 года FV₁ = PV (1+ r), после 2 года FV₂ = FV1 (1+ r) = PV (1+ r) (1+ r) = PV (1+ r)² , …

после n года FV_n = PV (1+ r)ⁿ (5)

Внутригодовые процентные начисления и начисление процентов за дробное число лет

Формула (5) справедлива для случая начисления процентов раз в году. На практике встречаются случаи начисления процентов несколько раз в году. При такой ситуации расчет ведется по формуле сложных процентов по периодам начисления процентов не равных году и по ставке, равной доле исходной годовой ставки:

FV = PV (1+ r /m)^nm, (6)

где r – годовая ставка;

m – количество периодов начислений в году;

n – время кредитования, в годах.

В случае заключения финансового контракта на период, отличающийся от целого числа лет, процентные платежи могут рассчитываться по формуле:

FV = PV (1+ r)^n+f, (7)

где f – дробная часть года.

Эффективная и номинальная ставка процентов

Если проценты начисляются и присоединяются к наращиваемой сумме не по истечении года, а чаще (m раз в году) при одной и той же годовой ставке r, то имеет место внутригодовая капитализация процентов. Наращение идет быстрее, чем при разовой капитализации. Ставку r называют номинальной, а реальный относительный доход, который получают в целом за год инвесторы при внутригодовой капитализации процентных платежей - эффективной ставкой (r_э ).

Иначе говоря, эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке r/m.

(1 + r_э) = (1 + r/m )^m (8)

Из равенства множителей наращения следует:

r_э = (1 + r/m )^m – 1 (9)

Оценка денежного потока с неравными поступлениями

Одним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного потока CF₁, СF₂, … , СF_{n ,} генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого–либо проекта или функционирования того или иного вида актива.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: прямой – оценка проводится с позиции будущей стоимости и обратной – проводится оценка с позиции настоящей стоимости потока, которая получила название приведенной стоимости, приведенной к одному моменту времени.

Ключевым моментом в рассматриваемых схемах оценки денежных потоков является предпосылка, что анализ ведется с позиции «разумного инвестора», инвестора немедленно инвестирующего полученные им денежные средства. Именно этим объясняется, что и при наращении и при дисконтировании предполагается капитализация по схеме сложного процента.

Оценка потока постнумерандо

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода n, когда реализуется схема наращения, которую можно представить следующим образом (рис.2).

Рис 2. Схема решения прямой задачи для потока постнумерандо.

На основании схемы будущая стоимость потока постнумерандо будет равна:

FV_pst = CF₁(1+r)^n-1 ₊ CF₂(1+r)^n-2+ … + CF_n-1 (1+r) + СF_n

_n

FV_pst = ∑ CF_t (1+r)^n-t (10)

^{t =1}

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода 0 (начало периода 1). В этом случае реализуется схема дисконтирования, и определяют приведенную или текущую стоимость денежного потока. Схема дисконтирования для исходного потока постнумерандо имеет следующий вид (рис. 3).

Рис 3. Схема решения обратной задачи для потока постнумерандо.

Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо PV_pst в общем случае может быть рассчитана по формуле:

PV_pst = CF₁/(1+r) +CF₂/(1+r)² +…+ CF_n-1 /(1+r)^n-1 + CF_n/(1+r)ⁿ

_n

PV_{ps t}= ∑ CF_t / (1+r)^t (11)

^t=1

Оценка потока пренумерандо

Для прямой задачи схема наращения стоимости денежного потока пренумерандо представлена на рис. 4.

Рис 4. Схема решения прямой задачи для потока пренумерандо.

Следовательно, будущая стоимость исходного денежного потока пренумерандо FV_pre в общем виде может быть рассчитана по формуле:

FV_pre = CF₁(1+r)ⁿ CF₂(1+r)^n-1 +…+ CF_n(1+r) ^n-n+1

_n

FV_pre = ∑ CF_t (1+r) ^n-t+1 (12)

^{t =1}

Из сопоставления формул (10) и (12) видно, что

FV_pre = FV_pst (1 +r).

Для обратной задачи схема дисконтирования представлена на рис. 5.

Рис 5. Схема решения обратной задачи для потока пренумерандо.

Согласно схеме приведенная стоимость потока пренумерандо PV_pre в общем виде может быть рассчитана по формуле:

PV_pre = CF₁ + CF₂/(1+r) + CF₃/(1+r)² +…+ CF_n-1/(1+r)^n-2 + CF_n/(1+r)^n-1

_n

PV_pre =∑ CF_t / (1+r)^t-1 (13)

^{t =1}

Как и в случае с будущей стоимостью, приведенные стоимости различных потоков находятся в следующей зависимости

PV_pre = PV_pst (1+r). (14)

Оценка срочных аннуитетов (финансовой ренты)

Аннуитет (финансовая рента) – один из видов потока денежных средств. Это серия равных платежей CF₁=CF₂=…=CF_n = A в течение определенного периода времени, обычно в течение нескольких лет (n). Например, регулярные взносы в Пенсионный фонд.

Будущая стоимость аннуитета постнумерандо.

FV_Apst = А(1+r)^n-1 ₊ А(1+r)^n-2+ … +А(1+r) + А

FV_Apst = А[(1+r)^n-1 ₊ (1+r)^n-2+ … +(1+r) + 1]

_{n n}

FV_Apst = ∑ А (1+r)^n-t = А ∑ (1+r)^n-t (15)

^{t =1 t =1}

В скобках имеем сумму членов геометрической прогрессии, которая может быть представлена в более компактном виде:

_n

∑ (1+r)^n-t = 1/r [(1+ r)ⁿ -1]

^{t =1}

FV_Apst = A/r[(1+ r)ⁿ -1] (16)

Приведенная стоимость аннуитета постнумерандо:

PV_Apst = A/(1+r) +A/(1+r)² +…+ A /(1+r)^n-1 + A/(1+r)ⁿ

_n

PV_Apst = ∑ A / (1+r)^t (17)

^{t =1} _n

∑ 1 / (1+r)^t = 1/r[1- (1+r)^-n ] (18)

^{t =1} PV_Apst = A/r[1- (1+r)^-n ] (19)