2.3.Кинематика твердого тела.

2.3.1.Простейшие движения твердого тела: поступательное и вращательное. Поступательное движение тела – это такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельное самой себе. При поступательное движении. все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Вращательное движение тела – это такое движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела. При этом движении все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Уравнение (закон) вращательного движения: =f(t) – угол поворота тела в радианах. (1 рад= 180^о/=57,3^о).

Угловая скорость: , [рад/с] – определяет изменение угла поворота в единицу времени. Вектор угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, направлен вдоль оси вращения так, что если смотреть ему навстречу вращение будет против часовой стрелке. "n"– число оборотов в мин. [об/мин], 1об=2 рад, . Угловое ускорение тела: , [рад/с²]. Вектор углового ускорения также направлен вдоль оси вращения. При ускоренном движении совпадает по направлению с угловой скоростью и противоположно при замедленном вращении.

Частные случаи вращения тела: 1) Равномерное вращение:=const,=t, =/t.

2) Равнопеременное вращение: =₀+t; , здесь начальный угол ₀=0.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела. – скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус–вектор этой точки. Модуль векторного произведения: v=rsin()= (CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения. Направлен вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка М, в сторону вращения.

Формула Эйлера: ,

_x,_y,_z – проекции вектора угловой скорости. Проекция вращательной (окружной) скорости: v_x=_yz – _zy; v_y=_zx – _xz; v_z=_xy – _yx. Если ось вращения совпадает с осью z, то v_x= – y; v_y=x. Ускорение: . Вращательное (касательное, тангенциальное) ускорение , модуль вращательного. ускорения а^вр=rsin, направлено по касательной к траектории точки, т.е. параллельно скорости. Центростремительное (осестремительное, нормальное) ускорение , а^ц=²R, направлено по радиусу к оси (центру) вращения. Модуль полного ускорения.: . Угол, между векторами полного и центростремительного ускорений: .

2.4.Сложное движение точки. – такое движение, при котором точка одновременно участвует в нескольких движениях (например, пассажир, перемещающийся по движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат (Oxyz), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O₁x₁y₁z₁).

Абсолютным движением точки называется движение по отношению к неподвижной системе координат. Относительное движение – движение по отношению к подвижной системе координат. (движение по вагону). Переносное движение – движение подвижной системе. координат относительно неподвижной (движение вагона). Теорема о сложении скоростей: , ; -орты (единичные вектора) подвижной системы координат, орт вращается вокруг мгновенной оси, поэтому скорость его конца и т.д., : ,

; – относительная скорость.

; переносная скорость: , поэтому абсолютная скорость точки = геометрической сумме ее переносной (v_e) и относительной (v_r) скоростей , модуль: .

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):

и т.д. Слагаемые выражения, определяющего ускорения : 1) – ускорение полюса О;

2)

3) – относительное ускорение точки;

4) ,

получаем: .

Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движении: – ускорение полюса О; – вращательное уск., – осестремительное ускорение., т.е. . Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса): , где – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения; 2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения. Модуль ускорения Кориолиса:

а_с= 2|_ev_r|sin(_e^{^}v_r), направление вектора определяется по правилу векторного произведения, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикулярную переносной угловой скорости, надо повернуть на 90^о в направлении вращения.

Кориолисово ускоре.ие = 0 в трех случаях: 1) _e=0, т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угловой. скорости в 0; 2) v_r=0; 3) sin(_e^{^}v_r)=0, т.е. (_e^{^}v_r)=0, когда относительная скорость v_r параллельна оси переносного вращения.

В случае движения в одной плоскости – угол между v_r и вектором _e = 90^о, sin90^o=1, а_с=2_ev_r.