Билет 14. Ряды Лорана. Теорема Лорана.

Ряд вида Add(n=-inf, inf)an(z-z0)^n, {an} – последовательность комплексных чисел, n = 0, +-1, +-2.. – ряд Лорана. Ряд Лорана по определению сходится в точке, если одновременно сходятся Add(n=0, inf)an(z-z0)^n, Add(n=-inf, -1)an(z-z0)^n. Область сходимости первого – |z – z0| < R, R = 1/(lim<up><ninf>sqr<n>|an|). Чтобы определить область второго – замена z-z0 = 1/w, |w| < r1, r1 = 1/(lim<up>sqr<n>|a-n|) те получили |z-z0| > r. Те ряд Лорана сходится в кольце, которое в зависимости от значений коэффициентов может вырождаться. Ряд Add(n=0, inf)an(z-z0)^n – правильная часть, а Add(n=0, inf)an(z-z0)^n – главная часть. Ряд Лорана сходится внутри кольца – следовательно его сумма там аналитическая функция. Т Лорана. Пусть функция f(z) (~ A(r < |z-z0| < R) тогда f(z) можно разложить в ряд Лорана, который сходится внутри этого кольца, причем разложение это единственно и an = (1/(2пi))$<|w-z0| = p>f(w)dw/(w-z0)^(n+1), n= 0, +1, -1, … r < p < R. Док-во выберем произвольную точку из кольца и заключим её в кольцо r < p1 < |z-z0|< R. По интегральной теореме Коши f(z) = (1/(2пi))$<|w – z0|=p2>f(w)dw/(w-z) – (1/(2пi))$<|w-z0|=p1>f(w)dw/(w-z). (обход по интегралам против часовой). Раскладываем ядро интеграла в ряд как в предыдущем билете. Меняем сумму с интегралом. Во втором слагаемом так же разложим ядро, но 1/(w – z0 –(z-z0)) = -1/(z-z0) * 1/(1-(w-z0)/(z-z0)) = -1/(z-z0)Add(n=0, inf)(w-z0)^n/(z-z0)^n = - Add(n=-inf, -1)(z-z0)^n/(w-z0)^(n+1). Сходится на кривой, в итоге получаем разложение в ряд Лорана. ЧТД.

Билет 15. Классификация изолированных особых точек. Устранимая особая точка. Полюс.

Пусть функция аналитична в области 0 < |z – z0| < r, а не аналитична в z0. Такая точка называется особой точкой. Разложим функцию в этом кольце в ряд Лорана. f(z) = Add(n=-inf, inf)an(z-z0)^n, 0 < |z-z0|<r. Если все коэффициенты главной части ряда Лорана равны 0, то z0 – устранимая особая точка. Так как ряд Тейлора сходится в круге |z-z0| < r, то его сумма аналитическая функция во всем круге. Те если доопределить f(z0) = a0, то она будет аналитична во всем круге. Отсюда получается, что в некоторой окрестности точки z0 она ограничена по модулю. Справедливо обратное – если функция в некоторой д-окрестности z0 ограничена по модулю, то точка z0 – устранимая точка. По теореме Лорана: an = 1/(2пi)$<|w-z0|=p>f(w)dw/(w-z0)^(n+1), n=0, +-1, +-2…., 0 < p < д. Расписываем ограничения, получаем, что |an| <= M/p^n, (M – супремум модуля функции) отсюда не хитро получается, что при отрицательных номерах, при стремлении p к 0 an 0, те точка устранимая. Те критерий устранимой особой точки – f(z) в некоторой её окрестности ограничена по модулю. Если существует k такое, что an = 0, для любого n <= -k, а a-k != 0, то z0 – полюс k-ого порядка. В этом случае f(z) = q(z)/(z-z0)^k, q(z0) != 0. lim<zz0>f(z) = inf. Функция 1/f(z) = (z-z0)^k/q(z) – аналитическая функция в некоторой дельта окрестности, а точка z0 – 0 кратности k. Критерий полюса: если z0 – изолированная особая точка функции, lim<zz0>f(z) = inf, то z0 – полюс. lim <zz0>f(z) = inf. Док-во: так как lim<zz0>f(z) = inf, то существует окрестность z0: 0 < |z – z0| < д< r, q(z) = 1/f(z) аналитична в этой окрестности и lim<zz0>q(z) = 0. Значит это устранимая особая точка для q(z). q(z) = Add(n=k, inf)an(z-z0)^n, a0 = 0, k >= 1, ak != 0, k – первый номер такой. Поэтому можем расписать f(z) =1/(z-z0)^k(Add(n=k, inf)an(z-z0)^(n-k))^(-1) - выражение в скобочках отлично от 0 в точке z0. ЧТД.