ТФКП:

Билет 1. Стереографическая проекция.

Расширенная комплексная плоскость (ркп) – совокупность всех комплексных чисел и бесконечно удаленной точки. Стереографическая проекция – взаимно однозначное отображение РКП на сферу Римана. Сфера Римана – сфера u^2 + v^2 + c^2 = c. Центр сферы – O(0, 0, 0.5), радиус – 0.5, точка P(0, 0, 1) – полюс. Соединив точку комплексной плоскости с полюсом, получаем точку на сфере, координаты которой u = x /(1 + |z|^2), v = y/(1+|z|^2), c = |z|^2/(1+|z|^2). Бесконечно удаленной точке соответствует полюс.

Билет 2. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность.

Пусть есть два подмножества множества всех комплексных чисел E, F, z (~ E, w (~ F, тогда говорят, что задана функция, если для любого z существует w. Каждому z может соответствовать более одного w. Если одно – функция называется однозначной(z^n), иначе многозначной(sqr<n>(z)). Предельным значение функции в точке z0 по Коши называется такое комплексное число w, что для любого eps существует такое положительное д, что для любого z из E: 0< |z – z0| < д  |f(z) – w| < eps. Т Для того, чтобы в точке существовал предел функции lim<zz0>f(z) = w = a + ib, необходимо и достаточно, чтобы существовали покоординатные пределы (|u(x, y) – a| <= |f(z) – w| <= |u(x, y) – a| + |v(x, y) – b| воспользоваться утверждениями о сумме и произведении пределов). Определение по Гейне: для любой последовательности точек z из мн-ва E, сходящихся к z0 верно, что последовательность значений сходится к w. Эти определения эквивалентны. Функция называется непрерывной в предельной точке своей области определения, если значение в ней совпадает с пределом в ней. Т Для непрерывности функции f(z) = u(x, y) + iv(x, y) в z0 = x0 + iy0 необходимо и достаточно непрерывность действительных функций u(x, y) v(x, y) в точке (x0, y0). Сумма, произведение непрерывных функций в точке непрерывны. Отношение, если знаменатель отличен от 0, так же. Суперпозиция двух непрерывных функций так же будет непрерывна (g[f(z0)]). Функция называется равномерно-непрерывной на множестве E, если для любого положительного eps существует д>0, такое что для любых z1,z2 из мн-ва, таких что |z1 – z2| < д верно, что |f(z1) – f(z2)| < eps. Т Для того чтобы функция f(z) = u(x, y) + iv(x,y) была равномерно-непрерывной на мн-ве необходимо и достаточно, чтобы функции u(x,y), v(x,y) были равномерно-непрерывны на этом мн-ве. Свойства функций непрерывных на компакте (замкнутое и ограниченное мн-во): ограниченная, достигает своих точных верхних/нижних границ, равномерно непрерывна(Т Кантора).

Билет 3. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Аналитичность функции комплексного переменного.

Пусть функция определена в некоторой положительной дельта окрестности точки z0. Тогда, если существует предел lim<zz0>(f(z) – f(z0))/(z-z0), то этот предел называется производной в точке z0. Если производная существует, то дf/дz – f’(z0) = o(1), lim<дz0>o(1) = 0. Значит дf = f’(z0)дz + o(1)дz (приращения расписывать по координатам). Функция называется дифференцируемой, если приращение дf = Aдz + o(1)дz, lim<дz->0>o(1) = 0, A не зависит от дz. Соответственно если функция дифф-ма, то она имеет производную и наоборот. Из дифференцируемости очеведным образом следует непрерывность. Расписать f’(z) = a + ib, o(1) = o1(1) + io2(1), получить выражения на приращение функций u, v, получить, что u’x = v’y, u’y = v’x. Это условие Коши-Римана или Эйлера-Даламбера. Т Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) и v(x, y) были дифференцируемы в точке (x0, y0), и выполнялось условие Коши-Римана. Необходимость доказана. Достаточность: u’x = a = v’y, u’y = - b = -v’x. Расписываем приращения этих функций. Через них выражаем дf/дz = a + ib + дx/дz(o1(1) + io3(1)) + дy/дz(o2(1) + io4(1)) приращение x и y меньше модуля приращения z  получаем выражение для производной. Свойства для производных (полностью аналогичны св-вам для действительных 4 св-ва) 5 f(z) – определена в д-окрестности точки, её производная в этой точке существует и отлична от 0 и f(z0) = w0. Пусть так же эта функция однозначно отображает окрестность z0 в некоторую д-окрестность w0. Тогда, если функция, обратная к функции q(w) = z непрерывна в w0, то существует q’(w0) = 1/f’(z0). (просто по определению). Функция называется аналитической в области, если она имеет в этой области непрерывную производную.

Билет 4. Теорема Коши и её обобщение.

Кривая спрямляемая, без самопересечений и без самоналеганий. Строим два вида интегральных сумм Add(i=1, n)f(zi’)l(zi-1, zi), Add(i=1, n)f(zi’)(zi – zi-1). По первым суммам – интеграл первого рода, по вторым – второго. Первый пишется как $<AB>f(z)|dz|, второй как $<AB>f(z)dz. Расписав интегральную сумму второго типа получить, что из существования интеграла второго рода следует существование $<AB>(u(x, y)dx –v(x,y)dy) и $<AB>((u(x,y)dx + v(x,y)dy). Получить $<AB>f(z) = $<AB>u(x,y)dx – v(x,y)dy + i$<AB>u(x,y)dx + v(x,y)dy. В полной аналогии $<AB>f(z)|dz| = $<AB>u(x, y)dl + i$<AB>v(x, y)dl. Св-ва: линейность, аддитивность (по двум кривым имеющим общую точку), при $<AB>f(z) = - $<BA>f(z), |$<AB>f(z)dz| <= ML, M >= |f(z)|. Классы интегрируемых функций: непрерывные, ограниченные по модулю, имеющий конечное число точек разрыва, обладающих I-св-вом (класс ограниченных по модулю функцию, все точки разрыва которых можно покрыть конечным числом спрямляемых дуг, суммарная длина которых меньше любого наперед заданного числа). Если кривая задана параметрически, то $<AB>f(z)dz = <ab>f[L(t)]L’(t)dt, $<AB>f(z)|dz| = $<ab>f[L(t)]|L’(t)|dt. Нет теоремы о среднем (e^(2пiz)dz = cos(2пz) + isin(2пz), интеграл от [0, 1]). Если кривая z = L(t) (непрерывная функция), взаимно однозначно отображается в [a, b] – это незамкнутая жорданова кривая, если для L(a) = L(b) - замкнутая жорданова кривая. Т Жордана замкнутая жорданова кривая Г разбивает замкнутую комплексную плоскость на две области, одна из которых D = intГ – ограниченная область, с границей Г, вторая неограниченная с +inf, с той же границей (без доказательства). Область односвязная – ее граница замкнутое связное мн-во. Конечно-связной – если граница состоит из конечного числа связных компонент. Из т жордана следует если граница DГ принадлежит односвязному множеству, то и DГ принадлежит этому мн-ву (без док-ва). (связное мн-во – E = E1 || E2, E1 != 0, E2 != 0  E1 &&E2_ != 0). Замкнутые кусочно-гладкие жордановы кривые – контуры. Интегральная Т Коши: Если функция аналитична в односвязном мн-ве, то интеграл второго рода этой функций по любому контуру, лежащему в этом мн-ве, равен 0. Док-во: $<Г>f(z) = $<Г>u(x, y)dx – v(x,y)dy + i$<Г>u(x, y)dy + v(x,y)dx = формула грина = $$<DГ>[d/dx(-v) – d/dy(u)]dxdy + $$<DГ>[d/dx(u) – d/dy(v)]dxdy. Через условие Коши-Римана получаем. Следствие: если функция аналитична на замыкании односвязной ограниченной области, то интеграл второго рода по её границе равен 0. Обобщения: если функция аналитична внутри односвязной ограниченной функции и непрерывна на границе (граница – контур), то интеграл по границе – 0 (без док-ва). Если область конечно связная, функция аналитична на всей области с границами, граница области dD = Г U j1 U j2 U.. Ujn, контуры не пересекаются, то интеграл по всей границе равен 0 ( направление обхода положительное), и $<Г>f(z)dz = Add(i=1, n)$<ji>f(z)dz (направление обхода против часовой) (док-во через формулу грина). Условие аналитичности на замыкании можно заменить на аналитичность на области и непрерывности на замыкании.