Математические операции над случайными величинами
Если X — случайная величина, k = const — постоянная, тогда произведение kX — это новая случайная величина, которая принимает значения, равные произведению значений x1, x2, ..., хп, на постоянную величину k, с теми же вероятностями, что и случайная величина X. Закон распределения случайной величины kX имеет вид:
Таблица 6.2
kX |
kx1 |
kx2 |
… |
kxn |
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Квадрат случайной величины X есть новая случайная величина — X2, которая принимает значения, равные квадратам x1, x2, …, хп, с теми же вероятностями, что и случайная величина X. Закон распределения случайной величины X2 имеет вид:
Таблица 6.3
X2 |
x12 |
x22 |
… |
xn2 |
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Пусть имеются две случайные величины X и Y. X принимает значения xi с вероятностями pi, а случайная величина Y — значения уi с вероятностями р.
Сумма случайных величин X + Y — это новая случайная величина, которая принимает все значения вида xi + уj (i=1, 2, ..., n; j = 1,2, ..., т) с вероятностями рij, выражающими вероятность того, что случайная величина X примет значение хi, a Y— значение yj, то есть
pi,j = P(X=xi; Y = yj) = P(X=xi) P(Y = yj /X=xi) (6.2)
Если случайные величины Х и Y независимы, то:
pi,j= P(X =xi; Y = yj) = P(X = хi,) • P(Y = yj)= pi p’j (6.3)
Закон распределения случайной величины Х+ У имеет вид:
Таблица 6.4
X+Y |
x1+y1 |
x2+y2 |
… |
xn+ym |
p |
p11 |
p12 |
… |
pn.m |
Разность случайных величин X-Y— это новая случайная величина, которая принимает все значения вида xi - уj, а произведение XY— все значения вида хi • уj. с вероятностями, определяемыми по формуле (6.2), если случайные величины X и Y зависимы, и по формуле (6.3), если они независимы.
Выполняя указанные математические операции над случайными величинами, можно строить другие случайные величины и задавать их соответствующим рядом распределения.
Функция распределения дискретной случайной величины
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать функцией распределения.
Определение 5.4. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем значение аргумента функции — х:
F(x) = P(X<x) = Pi. (6.4)
Вычисляя функцию распределения дискретной случайной величины для заданного аргумента, суммируют вероятности всех значений случайной величины, которые меньше аргумента функции распределения (лежат левее значения аргумента в ряду распределения).
Функция F(x) есть неубывающая функция, причем:
F(-∞) = 0; F(∞) = l. (6.5)
Построить функцию распределения дискретной случайной величины X можно следующим образом:
Рис. 6.2. Функция распределения дискретной случайной величины
Для дискретных случайных величин функция распределения F(x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева (см. рис. 6.2).
Часто в задачах требуется определить вероятность того, что случайная величина принимает значения в некотором интервале. Для этого используется формула вероятности попадания случайной величины X в промежуток от α до β (включая α):
P(α ≤ X < β) = F(β) - F(α) (6.7)
Для ответа на вопросы задач и более глубокого понимания темы полезно знать следующие формулы:
► Вероятность того, что событие наступит менее т раз («менее т раз» — это «или ноль, или один, или два, ... или т - 1 раз»), равна функции распределения F(X = m) и может определяться по формуле:
F(X = т) = Р(Х < т) = Pn,0 + Рп,1 + ... + Рп,m-1 (6.8)
► Вероятность того, что событие наступит не менее т раз, или «хотя бы т раз», или «как минимум т раз», или «т раз или больше», другими словами, «хотя бы два» — это «или два, или три, или четыре, или ...», может определяться по формуле:
Р(Х ≥ т)=Рп,m + Рп,т+1+…+Рп,п (6.9)
или Р(Х ≥ т)= 1 – F(Х = т) = 1 - (Рп,0 + Рп,1+…+ Рп,т-1).
► Вероятность того, что событие наступит более т раз, («более т раз» — это «или т, или т + 1, или т + 2,... или п раз»), может определяться по формуле:
Р(Х> т)= Pn,m+1 + Рn,т+1 +... + Рn,n (6.10)
HimP(X>m) = l-F(X = m + 1) = 1~£Р„0 + Рп1 + ... +Рпт).
► Вероятность того, что событие наступит не более т раз («не более т раз » — это «или ноль, или один, или два,... или т раз»), определяется по формуле:
F(X = m + l) = P(X ≤ m)=Pn,0 + Pn,1 + ... + Рп,т. (6.11)