8. Численное дифференцирование функций одной и нескольких переменных.

где При числ. Диф. Б/м величину заменяют наконечное число. Для вычисления значения производной получают приближенное равенство: Это поз опроксимиров производной с помощью отношения получ разность. Пусть ф-я задана табл

X0	X1	X2	…	Xn
Y0	Y1	Y2	…	yn

Пусть шаг(разность м-ду 2-мя соседними значениями) постоянны. в зависимости от способа вычисления полученных разностей получ 3 ф-лы для вычисл производной в данной точке

1. ; левые разности

2. ; ; правые разности

3. ; ; Для старших произв: Рассмотрим ф-ю переменных: где (i=0,1…L) (j=0,1…J) Используя понятие частной производной получим: ; Для численного диф ФНП можно использ разложена в ряд Тейлора.

В ычтем одну из другой и получим:

Записываем разложение в ряд Тейлора при разных и ∆y можно вывести ф-лы числ. дифференцирования:

9.Численное интегрирование.

Пусть на отрезке (а;b) задана ф-я с помощью точек а=x₀<x₁<…<x_n=в. Разобьем отрезок (а;в) на каждом из них выберем произвольную точку и составим интегральную сумму .

П редел этой суммы есть опред интерпол .

Метод прямоугольника и трапеции. трапеции: используют лин интерполяцию, т.е. график ф-и y=f(x)представ в виде ломаной, соед. Точки(x_i;y_i)

В этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей трапеций:

Метод Симсона:

Разобьем (а;в) на четное число n равных отрезков (x₀;x₂), (x₂;x₄),(x_i-1;x_i+1)…(x_n-2;x_n). На каждом отрезке подинтегр ф-ю f(x) замен интерполяц многочленом 2 степени.

В качестве можно принять интерполяцию многочлен Лагранжа 2й степени проход через точки.

Элементарную площадь S_i м.б. вычислена с помощью опред интеграла. Суммируя получ выраж для S_i получим _.

Ф-ла Симсона:

Метод Монте-Карло: x-одномерно распред случ величина на (а;в). Плотность ее распределения задаеться соотношением: тогда матожидание: пусть на (а;в) задана непрерывная ф-я f(x), тогда если x-случайная величина, то и f(x)-случайная велочина причем если x равномерно распределять на (а;в) то и f(x) тоже равномерно распределена на (а;в) т.е. матожидание f(x) будет равно:

10.

Рассмотрим дифур с начальным условием . Если f(x;y) удовлетворяют всем условиям теорем о существовании и единстве задачи Коши, то существует единственное решение, причем оно является аналитическим в т. X₀ и следовательно м.б. представлено в виде ряда Тейлора: ^p. Первый член ряда опред из начальных условий . Следующий член находится на основании дифура Остальные числа ряда находим шаг за шагом путем дифференцирования дифура (*) используют правила дифф неявно заданной ф-ии:

Метод последовательных приближений: Пустьдано диф уравнение с конечным условием Будем искать решение для . Интегрирую правую и левую часть можно по отразить (x₀;x) получим . Для решения этого уравнения примем метод последовательности приближений. Заменяя неизвестную ф-ю y на y₀ получим первое приближение . Даже подставив вместо y найденное y₁ получим второе приближение и т.д. . Геометрическая послед приближений представляет собой кривые, проход через общую точку (x₀;y₀).

11. Методы Эйлера и Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера:

Пусть дано диФУР y'=f(x;y) и нач. усл. y(x₀)=y₀. Выбрав малый шаг h x_i=x₀+ih. y'=(y₂-y₁)/h (y₁-y₀)/h=f(x₀;y₀) y₁=y₀+hf(x₀;y₀) y₂=y₁+hf(x₁;y₁) … y_n=y_n-1+hf(x_n-1;y_n-1) Т.о. получим ломаную Эйлера, которая приближает искомое решение y(x). Первая модификация: x_i+1/2=x_i+h/2; y_i+1/2=y_i+h/2; f_i+1/2=f(x _i+1/2;y _i+1/2) y _i+1/2=y_i+hf _i+1/2. Вторая модификация: y_i+1=y_i+hf(x_i;y_i); y_i+1=y_i+h(f(x_i;y_i)+f_i+1)/2.

Метод Рунге-Кутта:

Дано то же самое Выберем шаг h и введем обозначения: x_i=x₀+ih; y_i=y(x_i). Рассмотрим числа a_i=hf(x_i;y_i); b_i=hf(x_i+h/2;y_i+h/2); c_i=hf(x_i+h/2;y_i+b_i/2) d_i=hf(x_i+h;y_i+c_i). Рекуррентная ф-ла для вычисления y_i примет вид: y_i+1=y_i+(a_i+2b_i+2c_i+d_i)/6

13.Понятие функционала и вариации его аргумента. Примеры. Расстояние между функциями и определение окрестности пространства C_k[a;b].

Пусть дано некоторое множество М ф-ий y(x). Если каждой ф-ии y(x)ϵМ по нек. закону поставлено в соответствие число J, то говорят, что на мн-ве М опред. Функционал J=J[y(x)]; М-обл. оперд. Ф. Пример: Пусть М=С₁[a;b]-мн-во всех функций y(x) имеющих непр. y'(x) на [a;b]. Вариацией (превращением) δy аргумента y₀(x)ϵM Ф. J=J[y(x)] наз. разность между двумя ф-ми y(x) и y₀(x), где y(x)ϵM т.е. δy=y(x)- y₀(x). Замечание: Если задано множество k раз непрерывно дифференцируемой на [a;b] ф-ции C_k[a;b], то (δy)'=y'(x)- y₀'(x)= δy' … (δy)^(k)=y^(k)(x)- y₀^(k(x)= δy^(k) Это означает, что производные от вариации ф-ции y₀(x) равны вариации производных, т.е. если ф-ция y₀(x) получит превращение, то ее первая производная получит превращение δy'=(δy)' … до (k). Говорят, что кривые y=y₁(x) и y=y₂(x) зад. на [a;b] близки между собой в смысле близости нулевого порядка, если мал |y₁(x)- y₂(x)| на [a;b]. Геометрически это означает, что кривые на [a;b] близки по ординатам между собой. Говорят, что кривые y=y₁(x) и y=y₂(x) зад. на [a;b] близки между собой в смысле близости первого порядка, если равны |y₁(x)- y₂(x)|= |y₁'(x)- y₂'(x)| на [a;b]. Кривые y=y₁(x) и y=y₂(x) зад. на [a;b] близки между собой в смысле близости k-ого порядка, если малы величины: |y₁(x)- y₂(x)|; |y₁'(x)- y₂'(x)| … |y₁^(k)(x)- y₂^(k)(x)|

Опр. Расстояние 0-го порядка между кривыми y=y₁(x) и y=y₂(x) зад. на [a;b] наз. неотрицательно число ρ₀= ρ₀(y₁(x);y₂(x))= . Опр. Расстоянием k-го порядка между ф-ми y₁(x) и y₂(x) зад. на множ. С_k[a;b], наз. наибольший из максимумов . Опр. Ɛ окрестностью k-го порядка кривой y₀(x) и множ. С_k[a;b] наз. совокупность всех кривых y(x) из С_k[a;b] расстояние k-го порядка от которых y₀(x)< Ɛ. Зам. Ɛ ок-тью 0-го порядка кривой y₀(x) сост. из всех кривых y(x) расположенных в полосе шириной 2Ɛ вокруг кривой y₀(x)

14. Непрерывность Ф. Приращение Ф. Линейность Ф.

Ф. J[y(x)], определенный в C_k[a;b], наз. непрерывным на y₀(x), если для любого числа Ɛ>0, существует ɳ>0, что ρ_k(y(x);y₀(x))< ɳ => |J[y(x)]-J[y₀(x)]|<Ɛ, где y(x)ϵC_k[a;b]. Это опр. аналогично опр. непрерывности ф-ии y=f(x). Приращение Ф J[y(x)] отвечает приращению δy аргумента y₀(x), наз. вел. ∆J=J[y₀(x)+ δy]-J[y₀(x)]. Ф J[y(x)], определенный в C_k[a;b], наз. непрерывной в y₀(x), если . Тут должен быть прим.

Ф. L[Cy(x)], опр. в пространстве C_k[a;b] наз. линейным если он удовл. след. усл. : 1)L[Cy(x)]=CL[y(x)], где CϵR; 2)L[y₁(x)+ y₂(x)]=L[y₁(x)]+L[y₂(x)]. Вспомним опред. дифференцируемой ф-ии: Если приращение ф-ии в т. х₀ ∆f=f(х₀+∆x)-f(х₀) мб. Представлено в виде ∆f=A(х₀)∆x+β(х_0;∆x)∆x, где A(х₀) не зависит от ∆x, а β(х_0;∆x)->0 при ∆x->0, то ф-я наз. дифференцируемой, а главная линейная часть приращения A(х₀)∆x-дифференциал ф-ии и обознач. df. Разделив ∆f на ∆x и переходя к пределу при ∆x->0 получим A(х₀)=f '(х₀) и => df=f '(х₀)∆x

15. Вариация функционала как главная линейная часть приращения и как производная по пар-ру.

Если приращение Ф. в т. y₀(x)ϵC_k[a;b] ∆J=J[y₀(x)+δy]-J[y₀(x)] можно представить в виде: ∆J=L[y₀(x);δy]+β(y₀(x); δy)max| δy |, где L[y₀(x);δy]-линейный по отношению к δy Ф, β(y₀(x); δy)->0 при max| δy |->0, то линейная по отношению к δy часть приращения Ф наз. вариацией Ф и обознач. δy. Тут пример. Через параметр α можно определить и вариацию Ф, но сначала дадим опр. дифференциала ф-ии f(x) через производную по параметру. Рассм. Значение ф-ии f(x+ α∆x) при фиксированных x и ∆x и измен. пра-м α. При α=1 получим приращенное значение ф-ии f(x+ ∆x); При α=0 мы имеем f(x). Нетрудно проверить, что производная по парм. α от f(x+ α∆x) при α=0 диф. f(x) в т. х. . Аналогично для Ф нескольких переменных: f(x₁+α∆x₁;x₂+α∆x₂…x_n+α∆x_n)= и для Ф вида J[y(x)] или более сложных, зависящих от неск. неизв. ф-ий или от ФНП можно опред. вариацию как производную от Ф J[y(x)+αδy] по парам. α при α->0, т.е.

16.

Функционал заданный ы линейном пространстве С_k[a;b] достигает на прямой y=y₀(x) max(min) если найдётся окрестность точки , что для всех кривых из этой окр-ти -max; -min;Необходимое условие экстремума Ф-ла: Если Ф-л имеющий вариацию в некоторой окрестности точки y=y₀(x) достигает на ней максимума или минимума, то .

Экстремум Ф-ла на всей области определения наз-ся абсолютным экстремумом.

Функции для которых будем называть стационарными.

17.

Лемма:Если для каждой непрерывной ф-ии , где f(x)-непрерывная на отрезке [а;b] функция, то f(x)=0 на [a;b]

Замечание1:Утверждение Леммы и её док-во не применяется, если на функцию наложить след-е ограничения: = =0 и имеет непрерывные производные до порядка р.

Замечание2:функцию можно выбирать например, так:

Очевидно, что ф-я удовлетворяет упомянутым выше условиям. Она непрерывна, имеет непрерывные производные до порядка 2n-1, обращается в нуль в точках a и b. И может быть б/м вместе со своими производными за счёт уменьшения множителя k.

Замечание3:Аналогично можно док-ть, что ф-я F(x;y) непрерывна в области D плоскости xOy и

Т.о. Лемма справедлива для n- кратных интегралов.

18.

Пусть ф-я имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам до 2-го порядка включительно, среди всех функций , удовлетворяющие граничным условиям.y(a)=A, y(b)=B (3,1) Найти ту функцию, которая доставляет экстремум фенкционалу (3,2)

Замечание:Простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании экстремума функционала (3,2) на множестве всех гладких кривых содержащих заданные точки P₁(a;A); P₂(b;B)

Теорема:Если функционал (3,2) определенный на множестве ф-ий , удовлетвор-их условиям (3,1) достигает на кривой y₀ (x) экстремума, то ф-я y₀ (x) будет решением уравнения Эйлера. (3,3)

На кривой y₀(x) реализующий экстремум рассматриваемого функц-ла (3,2), явл решением дифф-ого уравнения (3,3) второго порядка.

Замечание1:только на удовлетворяющих этим условиям экстремалях может реализоваться экстремум функц-ла, однако, для того, чтобы установить, реализ-ся ли на них в действительности экстремум и притом мах или мин надо иметь достаточные условия экстремума.

Замечание2:краевая задача: ;y(a)=A, y(b)=B не всегда имеет решение. А если решение существует, то оно может быть не единственным.

Замечание3:во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи и если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям единственно, то это единственная экстремаль и будет решением, рассматриваемой задачи.

19.