4.2.2. Диагностический эксперимент

Диагностическим деревом называют дерево преемников, в котором ветвь b k-го уровня становится оконечной, если удовлетворяется одно из следующих условий:

• A-группа, связанная с b, содержит кратное a-множество.

• A-группа, связанная с b, связана с некоторой ветвью уровня, предшествующего k-му.

• Имеется ветвь k-го уровня (возможно, сама ветвь b), связанная с простой A-группой.

Диагностическим путем называется любой путь в диагностическом дереве, оконечная ветвь которого связана с простой А-группой.

Диагностической последовательностью для S и A(S)={a₁,a₂,...,a_n} называется любая входная последовательность, которая, будучи приложенной к S|a₁, S|a₂,...S|a_n, дает в результате n различных выходных последовательностей (здесь как S|a₁ обозначен автомат S в состоянии a1).

Входная последовательность, описанная диагностическим путем в диагностическом дереве, построенном для S и А(S), есть диагностическая последовательность для S и А (S).

Рассмотрим построение диагностического дерева на примере автомата S1. У него множество состояний S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, множество входных сигналов X = {α, β}, множество выходных сигналов Y = {0,1}.

Таблицы переходов и выхода S1 представлены в табл.4.1. Множество допустимых состояний А(S) = {4,5,6,7,9}.

Таблица 4.1
	YS	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y	α	0	0	0	1	1	1	0	1	0
	β	1	1	1	1	1	0	1	1	0
S	α	1	1	5	3	2	7	8	5	2
	β	4	5	1	4	6	3	4	9	8

Шаг 1

На нулевом уровне дерева находится множество допустимых состояний A(S).

Найдем α-преемник А-группы A(S). Для этого разбиваем каждое a-множество из A(S) на подмножества, которые вырабатывают одинаковые реакции на входную последовательность α. Состояния {4,5,6} вырабатывают выходной сигнал 1, а состояния {7,9} дают выходной сигнал 0. Таким образом, получаем А-группу G'={4,5,6}{7,9}.

Затем в a-множествах из G' заменяем каждое состояние его преемником относительно входной последовательности α. Получаем следующую A-группу {3,2,7}{8,2}. Данная А-группа является α-преемником A(S) и связана с ветвью α первого уровня.

Полученная А-группа не удовлетворяет условиям окончания ветви диагностического дерева.

0	{4,5,6,7,9}
	α	β
1	{3,2,7}{8,2}

Шаг 2

Найдем β-преемник А-группы A(S). Для этого разбиваем каждое a-множество из A(S) на подмножества, которые вырабатывают одинаковые реакции на входную последовательность β. Состояния 4,5,7 вырабатывают выходной сигнал 1, а состояния 6,9 вырабатывают выходной сигнал 0. Таким образом получаем А-группу G' = {4,5,7}{6,9}.

Затем в a-множествах из G' заменяем каждое состояние его преемником относительно входной последовательности β. Получаем следующую A-группу {4,6,4}{3,8}. Данная А-группа является β-преемником A(S) и соединена с ветвью β первого уровня.

Полученная А-группа является кратной, поэтому ветвь, связанная с данной А-группой, является оконечной ветвью дерева.

0	{4,5,6,7,9}
	α	β
1	{3,2,7}{8,2}	{4,6,4}{3,8}

Шаг 3

Рассмотрим построение второго уровня дерева. Для этого находим α и β-преемников А-группы {3,2,7}{8,2}, расположенной на втором уровне дерева.

α-преемником является А-группа {1,8}{5}{5}{1}, β-преемником является {1,5,4}{9,5}.

0	{4,5,6,7,9}
	α		β
1	{3,2,7}{8,2}		{4,6,4}{3,8}
	α	β
2	{5,1,8}{5}{1}	{1,5,4}{9,5}

Шаг 4

Построение третьего уровня дерева производим аналогично: для А-групп третьего уровня находим α- и β-преемников.

А-группа {4,6,4}{8}{6} содержит кратное σ-множество {4,6,4}, поэто-му ветвь дерева, связанная с данной А-группой, является конечной.

0	{4,5,6,7,9}
	α				β
1	{3,2,7}{8,2}				{4,6,4}{3,8}
	α		β
2	{5,1,8}{5}{1}		{1,5,4}{9,5}
	α	β	α	β
3	{2,5}{1}{5}{1}	{6,4,9}{6}{4}	{1}{2,3}{2}{2}	{4,6,4}{8}{6}

Шаг 5

Построение четвертого уровня дерева производим аналогично.

Одна из полученных А-групп {1}{2}{1}{2}{1} состоит из простых σ-множеств. Поэтому все ветви этого уровня являются оконечными. На этом построение диагностического дерева заканчивается.

0	{4,5,6,7,9}
	α									β
1	{3,2,7}{8,2}									{4,6,4}{3,8}
	α					β
2	{5,1,8}{5}{1}					{1,5,4}{9,5}
	α			β		α			β
3	{2,5}{1}{5}{1}			{6,4,9}{6}{4}		{1}{2,3}{2}{2}			{4,6,4}{8}{6}
	α	β	α		β		α	β
4	{1}{2} {1}{2} {1}	{5,6} {4}{6} {4}	{7,3} {2}{7} {3}		{3,8} {4}{3} {4}		{1}{1,5} {1}{1}	{4}{5,1} {5}{5}

Диагностическим путем данного дерева является путь α, α, α, α. Поэтому диагностической последовательностью для данного автомата S и данного множества начальных состояний A(S)={4,5,6,7,9} является последовательность (α, α, α, α).

В таблице приведены реакции состояний 4,5,6,7,9 на входную последовательность α,α,α,α

Начальное состояние	Реакция на α,α,α,α
4	1010
5	1000
6	1011
7	0110
9	0000

Для множества начальных состояний {4,5,6,7,9} диагностическая задача имеет решение с помощью простого безусловного эксперимента, но возможны случаи, когда диагностическая последовательность не существует.

Рассмотрим пример для автомата S1 и множества допустимых состояний {1,2,3,4,5}. По алгоритму, описанному ранее, построим диагностическое дерево.

0	{1,2,3,4,5}
	α	β
1	{1,1,5}{3,2}	{4,5,1,4,6}

Все А-группы первого уровня являются кратными, т.е. для данного S и А(S) не существует диагностической последовательности, и это означает, что не существует решения диагностической задачи для данных S и А(S) с помощью простого безусловного эксперимента.