Екзаменаційний білет з лінійної алгебри та аналітичної геометрії для спеціальностей «Фізика» і «Прикладна фізика» фізико-технічного факультету
Білет №18
Теореми про еквівалентність двох різних означень скалярного добутку: геометричного та алгебрагічного. Застосування скалярного добутку до ортогональності векторів, до обчислення довжин та знаходження кутів.
Самоспряжені лінійні оператори. Ортогональність власних векторів, які відповідають різним власним значенням самоспряженого лінійного оператора.
Довести, що з компланарності трьох векторів [ab], [bc], [ca] випливає їх колінеарність.
В довільному випуклому шестикутнику ABCDEF з’єднані через одну середини сторін. Доведіть, що точки перетину медіан двох новоутворених трикутників співпадають.
Нехай a і b – ненульові неколінеарні вектори. Доведіть, що вектор c = a/|a|+b/|b| утворює рівні кути з векторами a і b.
Екзаменатор ___________________ Доцент Атаманюк Б.В.
Завідувач кафедри ___________________ Доцент Никифорчин О.Р.
Івано-Франківськ
2012р.
Екзаменаційний білет з лінійної алгебри та аналітичної геометрії для спеціальностей «Фізика» і «Прикладна фізика» фізико-технічного факультету
Білет №19
Теорема про еквівалентність двох різних означень векторного добутку: геометричного та алгебраїчного. Застосування до колінеарності векторів і до обчислення площі.
Лінійна незалежність власних векторів, які відповідають різним власним значенням лінійного оператора.
Ортогональність власних векторів самоспряженого оператора, які відповідають різним власним значенням.
Задано координати вершин піраміди A1(–1; 0; 1), A2(4; 3; 2), A3(1; 2; 4), A4(0; 4; –1). Знайти довжини ребер A1A2, A1A3, A1A4 піраміди та площі граней.
Написати рівняння спільного перпендикуляра до двох прямих l: і L: .
Екзаменатор ___________________ Доцент Атаманюк Б.В.
Завідувач кафедри ___________________ Доцент Никифорчин О.Р.
Івано-Франківськ
2012р.
Екзаменаційний білет з лінійної алгебри та аналітичної геометрії для спеціальностей «Фізика» і «Прикладна фізика» фізико-технічного факультету
Білет №20
Теорема про еквівалентність двох різних означень змішаного добутку: алгебраїчного та геометричного. Застосування змішаного добутку до компланарності векторів, до обчислення об’ємів (тетраедра) та знаходження відстаней між мимобіжними.
Теорема про інваріантні підпростори розмірності 1 і 2.
Довести тотожності:
.
[a[bc]]
+ [b[ca]]
+ [c[ab]]
= 0;
[ab],[cd]
=
ac
bd
–
ad
bc
.Трикутники ABC і ACD розміщені у одній площині так, що точки B і D лежать по різні сторони від прямої (AC). Доведіть, що площа S чотирикутника ABCD дорівнює: S = ½
Основою трикутної піраміди DABC з вершиною D(2; 2; –
)
є трикутник з вершинами в точках
A(0;
0; 0),
B(0;
1; 1),
C(1;
1; 0). Знайти довжину
h
висоти піраміди.
Екзаменатор ___________________ Доцент Атаманюк Б.В.
Завідувач кафедри ___________________ Доцент Никифорчин О.Р.
Івано-Франківськ
2012р.