5. Формулы связи координат соответственных точек снимка и местности.

Рис. .1

Пусть из точки S получен снимок Р, на котором точка М местности изобразилась в точке m. Найдем зависимости между координатами этих точек. Положение точки М местности в системе координат объекта OXYZ определяет вектор . Вектор определяет положение центра проекцииSв системе координат объекта OXYZ.

Векторы и определяют собственно положение точек mи М относительно центра проекции S.

Из рис. 1 следует, что

( 1).

Векторы коллинеарные, поэтому можно записать, что

; ( 2)

где N-скалярная величина.

С учетом ( 2) выражение ( 1) имеет вид

; ( .3)

В координатной форме выражение ( 3) имеет вид

;

или

. ( 4)

В выражении (1.3.4):

X,Y,Z-координаты точки М в системе координат объекта,

координаты центра проекции Sв системе координат объекта; координаты вектора в системе координат объекта.

; ( .5)

где А-матрица преобразования координат, элементы aij которой определяются по значениям угловых элементов внешнего ориентирования снимка ,,.

Из третьей формулы выражения ( 4) следует, что

.

Подставив значение Nв первые две формулы выражения ( 4) получим формулы связи координат соответственных точек местности и снимка:

; ( 6)

которые с учетом (1.3.5) имеют вид

; ( 7)

Из формул ( 6) следует, что координаты точки местности по снимку можно получить по координатам ее изображения на снимке, если известны элементы внутреннего и внешнего ориентирования снимков и известна высотаZэтой точки.

Найдем теперь формулы связи координат соответственных точек снимка и местности, которые позволят вычислить координаты изображения точки на снимке в системе координат снимка по координатам соответственной точки местности, определенным в системе координат объекта OXYZ.

Из выражения (3) следует, что

. (8)

В координатной форме выражение (1.3.8) имеет вид

;

или

; (9)

В выражении ( 9) x,y –координаты изображения точки местности m в системе координат снимкаSxyz.

; ( 10)

Из третьего выражения ( 9) следует, что

.

Подставив значение в первые два уравнения выражения ( 9), получим формулы связи координат соответственных точек снимка и местности.

которые с учетом ( 10) имеют вид

Уравнения ( 12) в фотограмметрии часто называют уравнениями коллинеарности.

6. Определение элементов внешнего ориентирования снимка по опорным точкам (обратная фотограмметрическая засечка).

Опорной точкой будем называть точку, опознанную на местности и на снимке, геодезические координаты которой на местности известны.

Для определения элементов внешнего ориентирования снимка воспользуемся уравнениями коллинеарности (3.12), которые представим в виде

; ( 1)где ;

или

. ( 2)

Если на снимке измерены координаты изображений опорных точек, то каждая опорная точка позволяет составить 2 уравнения ( 2),в которых известны значения координат х,у изображения опорной точки в системе координат снимкаSxyz, геодезические координаты опорной точки в системе координат объекта OXYZи элементы внутреннего ориентирования снимка f,x0,y0.

Неизвестными величинами в уравнениях (2) являются 6 элементов внешнего ориентирования снимка Xs,Ys,Zs,,,.

Следовательно, для определения 6 неизвестных элементов внешнего ориентирования снимка достаточно иметь не менее 3 опорных точек. При этом опорные точки на местности не должны располагаться на одной прямой. Если имеются 3 опорные точки, координаты изображений которых на снимке измерены, можно составить систему из 6 уравнений ( 2) с 6 неизвестными. В результате решения этой системы уравнений можно найти значения элементов внешнего ориентирования снимка.

В связи с тем, что уравнения ( 2) не линейны, решение системы уравнений непосредственно достаточно сложно, поэтому систему уравнений (2) решают методом приближений.

Для этого уравнения ( 2) приводят к линейному виду, раскладывая их в ряд Тейлора с сохранением членов только первого порядка малости, и переходят к уравнениям поправок.

. ( 3)

В уравнениях ( 3):

Xs, … , - поправки к приближенным значениям неизвестных элементов внешнего ориентирования снимка Xs0,…,0;

ai,bi – частные производные от уравнений ( .2) по соответствующим аргументам (например, коэффициент а4 является частной производной от первого уравнения ( 2) по аргументу ,то есть );

ℓх, ℓу – свободные члены.

Значения коэффициентов уравнений ( 3)ai,biвычисляются по известным значениям координат точек снимка и местности х,у иX,Y,Z, известным значениям элементов внутреннего ориентирования снимка f,x₀,y₀ и приближенным значениям неизвестных Xs⁰,…,⁰.

Свободные члены ℓх, ℓу вычисляются по формулам ( 2) таким же образом.

В результате решения системы уравнений поправок ( .3) находят поправки к приближенным значениям неизвестных и вычисляют уточненные значения неизвестных.

По уточненным значениям неизвестных повторно составляют уравнения поправок ( 3) и решают полученную систему уравнений.

Решения повторяют до тех пор, пока величины поправок, найденные в результате решения, не станут пренебрежительно малыми.

В случае если на снимке измерено более трех изображений опорных точек, то для каждой точки составляют уравнения поправок вида:

; ( 4)

Решение полученной системы уравнений ( .4) производят методом приближений, по методу наименьших квадратов (под условием VTPV=min).

Вкратце: