Правила Кирхгофа

На практике часто приходится рассчитывать сложные (разветвлённые) цепи постоянного тока, например, по заданным сопротивлениям участков цепи приложенным эдс находить силу тока во всех участках. Решение этой задачи значительно облегчается, если пользоваться двумя правилами, сформулированными Г.Кирхгофом в 1847г.

I правило Кирхгофа (относится к точкам разветвления цепи)

Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

Узел – это любая точка, разветвления цепи в которой сходится не менее трёх проводников с током.

Положительными считаются токи, подходящие к узлу (токи I₁, I₄), отрицательными – токи, отходящие от узла (токи I₂, I₃, I₅).

+I₁- I₂ - I₃ + I₄ - I₅ =0( для узла А)

I правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда.

Это правило можно записать для каждого из N узлов цепи. Однако независимыми являются только (N-1) уравнений, N-e будет следствием из них.

II правило Кирхгофа (относится к любому выделенному в разветвлённой цепи замкнутому контуру)

Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме эдс, действующих в этом контуре

Для доказательства этого правила достаточно рассмотреть случай, когда выделенный контур состоит из трёх участков.

Зададим направление обхода, например, по часовой стрелке и применим к каждому из неразветвлённых участков контура закон Ома

I₁R₁=φ₂-φ₃+ε₁

I₂R₂=φ₃-φ₂+ε₂

I₃R₃=φ₁-φ₂+ε₃

Сложим эти равенства

Приходим к выражению т.е. ко второму правилу Кирхгофа

II правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородных участков цепи. Это правило может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить мысленно в данном разветвлённой цепи.

Число независимых уравнений равно числу областей, ограниченных проводниками, если схему удастся изобразить на плоскости без пересечений.

При составлении уравнений следует выбрать направление обхода и строго придерживаться его.

Алгоритм расчёта электрических цепей с помощью правил Кирхгофа:

1. произвести нумерацию элементов на разветвлённых участках цепи.

2. Выбрать предполагаемые направления токов на разветвлённых участках цепи. Если в результате вычисления окажется, что какой-то ток положителен, то это значит, что его направление выбрано правильно. Если же ток окажется отрицательным, то его истинное направление противоположно выбранному.

3. Записать I правило Кирхгофа ( N_{1 незав}=n_узлов-1)

4. Выделить в разветвлённой цепи контуры и выбрать направления обхода каждого контура.

5. Записать II правило Кирхгофа (N_{2 незав}=m_{участков цепи} -(n_узлов-1))

Пример: Найдём силу тока и его направление через сопротивление R. Все сопротивления и эдс предполагаются известными.

-I-I₁-I₂=0  I+I₁+I₂=0

n_узлов=2 => N₁=1

m_{участков}=3 => N₂=1=3-(2-1)=2

-IR+I₁R₁+I₁r₁= -ε₁

-I₁r₁-I₁R₁+I₂R₂+I₂r₂ = ε₁+ε₂

Мощность постоянного тока. Кпд источника тока.

Мощность, развиваемая источником тока, определяется следующим образом:

P=ε·I -полная мощность

Учитывая закон Ома для полной (замкнутой) цепи, выраженное для полной мощности записывается в виде:

Выделяемая в нагрузке мощность, получила название полезной мощности

Часть полной мощности расходуется в источнике тока и оказывается бесполезной.

P_n=I²r -потери мощности внутри источника

Тогда можно записать P=P_н+P_n

КПД источника тока определяется выражением:

Полная мощность, развиваемая конкретным источником тока, зависит от сопротивления нагрузки R. Она будет максимальной при R→0? Т.е. при токе короткого замыкания ( ). Но в этом случае, вся мощность, выделяемая в источнике тока, будет бесполезной.

При увеличении сопротивления нагрузки R→ полная мощность P→.

Рассмотрим зависимость полезной мощности от сопротивления нагрузки

R+r-2R=0

-R+r=0

R=r

Таким образом, полезная мощность максимальна при R=r.

При этом ток равен

, т.е. в случае, когда R=r КПД источника будет равен 50%.