![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Метод Ньютона
- •Материал из Википедии — свободной энциклопедии
- •[Править] Описание метода [править] Обоснование
- •[Править] Геометрическая интерпретация
- •[Править] Алгоритм
- •[Править] Пример
- •[Править] Условия применения
- •[Править] Контрпримеры
- •[Править] Ограничения
- •[Править] Историческая справка
- •[Править] Обобщения и модификации
- •[Править] Метод одной касательной
- •[Править] Многомерный случай
- •[Править] Применительно к задачам оптимизации
- •[Править] Метод Ньютона — Рафсона
- •[Править] Применительно к задачам о наименьших квадратах
- •[Править] Метод Гаусса — Ньютона
- •[Править] Обобщение на комплексную плоскость
[Править] Метод Гаусса — Ньютона
Метод Гаусса — Ньютона строится на
предположении о том, что слагаемое
доминирует
над
.
Это требование не соблюдается, если
минимальные невязки велики, т.е. если
норма
сравнима
с максимальным собственным значением
матрицы
.
В противном случае можно записать:
Таким образом, когда норма
близка
к нулю, а матрица
имеет
полный столбцевой ранг,
направление
мало
отличается от Ньютоновского (с учётом
),
и метод может достигать квадратичной
скорости сходимости, хотя вторые
производные и не учитываются. Улучшением
метода является алгоритм
Левенберга — Марквардта,
основанный на эвристических
соображениях.
Бассейны Ньютона для полинома пятой степени p(x) = x5 − 1. Разными цветами закрашены области притяжения для разных корней. Более тёмные области соответствуют большему числу итераций.
[Править] Обобщение на комплексную плоскость
До сих пор в описании метода использовались функции, осуществляющие отображения в пределах множества действительных значений. Однако метод может быть применён и для нахождения нуля функции комплексного переменного. При этом процедура остаётся неизменной:
Особый интерес представляет выбор
начального приближения
.
Ввиду того, что функция может иметь
несколько нулей, в различных случаях
метод может сходиться к различным
значениям, и вполне естественно возникает
желание выяснить, какие области обеспечат
сходимость к тому или иному корню. Этот
вопрос заинтересовал Артура
Кейли ещё в 1879
году, однако разрешить его смогли лишь
в 70-х
годах двадцатого
столетия с появлением
вычислительной техники. Оказалось, что
на пересечениях этих областей (их принято
называть областями притяжения)
образуются так называемые фракталы —
бесконечные самоподобные геометрические
фигуры.
Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам, фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона.