![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Метод Ньютона
- •Материал из Википедии — свободной энциклопедии
- •[Править] Описание метода [править] Обоснование
- •[Править] Геометрическая интерпретация
- •[Править] Алгоритм
- •[Править] Пример
- •[Править] Условия применения
- •[Править] Контрпримеры
- •[Править] Ограничения
- •[Править] Историческая справка
- •[Править] Обобщения и модификации
- •[Править] Метод одной касательной
- •[Править] Многомерный случай
- •[Править] Применительно к задачам оптимизации
- •[Править] Метод Ньютона — Рафсона
- •[Править] Применительно к задачам о наименьших квадратах
- •[Править] Метод Гаусса — Ньютона
- •[Править] Обобщение на комплексную плоскость
[Править] Алгоритм
Задаются начальным приближением x0.
Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять
или
(то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение:
.
[Править] Пример
Иллюстрация применения метода Ньютона к функции f(x) = cosx − x3 с начальным приближением в точке x0 = 0,5. |
|
График последовательных приближений. |
График сходимости. |
Согласно способу практического определения скорость сходимости может быть оценена как тангенс угла наклона графика сходимости, то есть в данном случае равна двум. |
Рассмотрим задачу о нахождении
положительных x, для которых cosx
= x3. Эта задача может быть
представлена как задача нахождения
нуля функции f(x) = cosx − x3.
Имеем выражение для производной
.
Так как
для
всех x и x3 > 1 для x >
1, очевидно,
что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в
качестве начального приближения значение
x0 = 0,5, тогда:
Подчёркиванием отмечены верные значащие цифры. Видно, что их количество от шага к шагу растёт (приблизительно удваиваясь с каждым шагом): от 1 к 2, от 2 к 5, от 5 к 10, иллюстрируя квадратичную скорость сходимости.
[Править] Условия применения
Иллюстрация расхождения метода Ньютона, применённого к функции f(x) = x3 − 2x + 2 с начальным приближением в точке x0 = 0.
Рассмотрим ряд примеров, указывающих на недостатки метода.
[Править] Контрпримеры
Если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись.
Пусть
Тогда
Возьмём нуль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст нуль. Метод зациклится и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным.
График производной функции f(x) = x + x2sin(2 / x) при приближении x к нулю справа.
Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.
Рассмотрим функцию:
Тогда
и
всюду,
кроме 0.
В окрестности корня производная меняет
знак при приближении x к нулю справа
или слева. В то время, как:
для
.
Таким образом
не
ограничено вблизи корня, и метод будет
расходиться, хотя функция всюду
дифференцируема, её производная не
равна нулю в корне,
бесконечно
дифференцируема везде, кроме
как в корне, а её производная ограничена
в окрестности корня.
Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.
Рассмотрим пример:
Тогда
и
за
исключением
,
где она не определена.
На очередном шаге имеем ,
Скорость сходимости полученной последовательности составляет приблизительно 4/3. Это существенно меньше, нежели 2, необходимое для квадратичной сходимости, поэтому в данном случае можно говорить лишь о линейной сходимости, хотя функция всюду непрерывно дифференцируема, производная в корне не равна нулю, и бесконечно дифференцируема везде, кроме как в корне.
Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.
Пусть
Тогда
и
следовательно
.
Таким образом сходимость метода не
квадратичная, а линейная, хотя функция
всюду бесконечно дифференцируема.