Дифференциальные уравнения первого порядка

Тип дифферен-циального уравнения пер-вого порядка	Вид уравнения	Метод решения
1. С разделяю-щимися пере-менными
2. Однородное		Подстановка , приводит к уравнению первого типа
3. Линейное		Подстановка приводит к уравнениям первого типа

произвольную постоянную для полагаем равной нулю. Получаем уравнение для нахождения функции

.

Решение исходного уравнения имеет вид

.

При решении задач № 121-150 используются приёмы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, изложенные в литературе [2, т. 2, гл. VI, § 8, 9, с. 186 - 197; 4, п. 12.11-12.13, с. 279-286].]..

Для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения используется табл. 3, а для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения используется табл. 4.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям .

Таблица 3

Общее решение однородного уравнения

Вид общего решения однородного уравнения	Корни характеристического уравнения
1.	– вещественные,
2.	– вещественные,
3.	– комплексные,

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде , где – общее решение однородного уравнения

,

которое определяется по табл. 3, а – частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

Для определения составим характеристическое уравнение

.

Его корни . Следовательно, .

Так как правая часть уравнения , то .

Здесь .

.

Подставив эти значения в наше уравнение, получим

Таблица 4

Частное решение неоднородного уравнения

Вид правой части неод-нородного дифференци-ального уравнения	Вид частного решения
, – многочлен степени	, где - многочлен степени с не-определёнными коэффициентами
– многочлен степени , – многочлен степени	равно наибольшей из степеней и

Сократим на и сгруппируем члены с

или .

Приравниваем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой части равенства, при одинаковых степенях . Получаем систему уравнений для определения .

Итак, .

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

, отсюда

.

Подставляя в эти выражения начальные условия , найдём .

Итак, искомое решение имеет вид

.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде , где – общее решение однородного уравнения

,

которое определяется по табл. 3, а – частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

Для определения составим характеристическое уравнение

.

Его корни .

Согласно таблице 3 , то есть

.

Для определения используем табл. 4. Так как , то . Следовательно,

.

Для определения подставим в первоначальное уравнение

,

.

Тогда уравнение примет вид

Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой части этого уравнения, получим систему

.

Общее решение нашего уравнения имеет вид

.

Отсюда

Найдём из начальных условий постоянные .

Итак, искомое решение имеет вид

.

Контрольная работа №2

Интегралы.

1-30. Вычислить неопределённые интегралы.

	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.

31-60. Задачи на геометрические приложения определённого интеграла

31. Найти площади частей, на которые круг делится параболой .

32. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью абсцисс .

33. Найти длину дуги параболы от точки до точки .

34. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и .

35. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и .

36. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами и .

37. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и прямыми .

38. Найти длину дуги кривой между точками её пересечения с осью .

39. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

40. Найти длину дуги кривой от точки до точки .

41. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией и осью абсцисс .

42. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

43. Найти площади фигур, на которые парабола делит круг .

44. Вычислить площадь фигуры, заключённой между линией и параболой .

45. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и .

46. Найти длину дуги кривой между точками её пересечения с осями координат.

47. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

48. Найти длину дуги кривой от точки до точки .

49. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

50. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и прямыми .

51. Найти длину дуги кривой от до точки .

52. Найти объём тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием и высотой вокруг высоты.

53. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

54. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

55. Найти длину дуги астроиды .

56. Найти длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки .

57. Фигура ограничена кривой и осями координат Найти объём тела вращения.

58. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью .

59. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .

60. найти площадь фигуры, ограниченной кривыми .

Задачи № 61-90. Задания: а) представить комплексное число в тригонометрической форме, б) представить комплексное число в показательной форме; в) выполнить указанные действия над комплексными числами, г) вычислить корень или решить уравнение.

61. а) , б) , в) , г) ;

62. а) б) , в) , г) ;

63. а) б) , в) , г) ;

64. а) , б) , в) , г) ;

65. а) , б) , в) , г) ;

66. а) , б) , в) , г) ;

67. а) , б) в) , г) ;

68. а) , б) в) , г) ;

69. а) , б) , в) , г) ;

70.а) , б) , в) , г) ;

71. а) б) , в) , г) ;

72. а) , б) , в) , г)

73.а) , б) в) , г) ;

74. а) , б) , в) , г) ;

75. а) , б) в) , г) ;

76. а) , б) , в) , г) ;

77. а) , б) , в) , г) ;

78. а) , б) в) , г) ;

79. а) , б) , в) , г) ;

80. а) , б) , в) , г) ;

81. а) , б) , в) , г) ;

82. а) , б) , в) , г) ;

83.а) , б) , в) , г) ;

84. а) , б) , в) , г) ;

85. а) , б) , в) , г) ;

86. а) , б) , в) , г) ;

87. а) , б) , в) , г) ;

88. а) , б) , в) , г) ;

89. а) , б) , в) , г) ;

90. а) , б) , в) , г) .