Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
К р № 2 для ГФ.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
20.09.2019
Размер:
1.76 Mб
Скачать

Методические указания к контрольной работе

Для вычисления неопределённых интегралов (№ 1-30) необходимо проработать литературу: [2, гл.I, §1 - §7, с. 8-54; 4, п. 6, с. 148 - 168], где содержатся практические рекомендации по данной теме.

Для выполнения задания 1-30 (пункт а) нужно из таблицы интегралов выбрать такой, к которому можно свести данный интеграл.

Например, при вычислении

используем табличный интеграл

.

Согласно этой формулы подводим под знак дифференциала основание степени. Так как , то умножим и разделим интеграл на 5, то есть

.

Интеграл сводится к табличному путём подведения под знак дифференциала показателя степени . Таким образом

.

В примере используем формулу , где под знаком дифференциала находится знаменатель дроби. Так как , то

.

При вычислении интегралов в пункте б) применяются методы подстановки и интегрирования по частям, то есть по формуле мы от исходного интеграла переходим к более простому .

Пример. , то есть возьмём

(здесь при нахождении константу полагаем равной 0). Получим

.

Возьмём отдельно

.

Итак

.

Пример. Найти . Пусть

.

.

Пример. При вычислении интеграла сделаем подстановку

. Получим

.

Дробь неправильная (степень числителя не меньше степени знаменателя). Выделим целую часть

.

Итак

.

Здесь и табличные, а

.

Для нахождения площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 31-60 рекомендуется изучить литературу [2, гл. II, § 2, с. 67 - 68; 4, п. 7.11 – 7.12, с. 185-190].

Пример. Найти площади частей, на которые круг делится параболой .

Сделаем схематический чертёж (рис.1) и найдём точки пересечения этих линий

В точке пересечения . Площадь меньшей части

Рис.1 Рис.2

Площадь большей части .

Пример. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями .

Сделаем схематический чертёж (рис.2) и найдём точки пересечения этих линий

При нахождении длины дуги в задачах № 31-60 и массы неоднородной линии в задачах № 61-90 следует помнить, что дифференциал длины дуги выражается различными формулами [2, гл. II, § 2.2, с. 68; 4, п. 7.10.11, с. 184 - 185].

  1. , если линия задана в декартовых координатах;

  2. , если линия задана параметрически ;

  3. , если линия задана в полярных координатах .

Пример. Найти длину дуги кривой

Вычисляем

.

Пример. Найти массу участка линии

, если плотность .

.

Найдём ,

,

.

.

3. Теория функций комплексного переменного

3.1. Комплексные числа и действия над ними.

Более подробный теоретический материал и практические рекомендации по данной теме ( № 61-90) можно найти, например, в следующих учебниках: [1, т. 1, гл. VI, § 1, 2, с. 134 - 137; 3, т.2, § 5.3, с. 239-244].

Комплексными числами называются числа вида , где – действительные числа, – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа.

По определению, два комплексных числа: и – равны тогда и только тогда, когда и .

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу , если . Другими словами, если , то .

Всякому комплексному числу можно поставить в соответствие единственную точку плоскости и обратно, всякую точку плоскости можно рассматривать как геометрический образ единственного комплексного числа .

y

М

0 х

Рисунок 1

Для сокращения вместо “точка, соответствующая комплексному числу ”, говорят просто “точка ”. При этом множество всех действительных чисел изображается точками оси абсцисс, которая поэтому называется действительной осью, множество чисто мнимых чисел точками оси ординат, называемой мнимой осью. Заметим, что одна точка мнимой оси, а именно начало координат,

изображает действительное число нуль. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением числа радиус-вектор точки .

y

0 z3

5 x

-2 z2

-5 z1

Рисунок 2

Пример 1. Построить точки , , .

В дальнейшем, наряду с представлением комплексных чисел в декартовых координатах, полезно иметь их представление в обобщенных полярных координатах.

Рассмотрим число , которому на плоскости соответствует точка . Ее координаты в полярной системе координат .

y

M(x; y)

ρ

φ

0 x

Рисунок 3

Тогда

.

.

Полярный радиус называется модулем комплексного числа и обозначается .

Полярный угол называется аргументом комплексного числа и обозначается . Тогда

.

Эта форма называется тригонометрической формой комплексного числа.

Модуль комплексного числа определяется однозначно: .

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного . Главным значением аргумента называется значение, заключенное в интервале . Обозначается оно . Таким образом, .

Очевидно, .

Главное значение аргумента определяется однозначно.

Так как ,

Тригонометрическая форма комплексного числа будет иметь вид

.

Пример 2. Написать в тригонометрической форме комплексное число .

y

z 1

-1 0 x

Рисунок 4

Решение.

.

Пусть . Используя формулу Эйлера , получаем так называемую показательную форму записи комплексного числа:

.

Пример 3. Представить в показательной форме комплексное число .

y

-1 0

x

z -1

Рисунок 5

Решение

Пример 4. Вычислить .

Решение. По формуле Эйлера .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]