15. Связанные колебательные контуры. Резонансные кривые.

Два (и более) одиночных контура могут быть связаны между собой индуктивной, емкостной или резистивной связью. Рассмотрим индуктивную (трансформаторную) связь (рис. 2.20), т. е. связь посредством общего магнитного поля. Степень связи между контурами определяется в данном случае коэффициентом взаимной индукции M или коэффициентом связи k_св.

При встречном включении катушек, как показано на рис. 2.20, перед сопротивлением связи имеется знак «–». При согласном включении «+». Одноименные зажимы катушек обозначаются «».

(2.78)

М – имеет размерность индуктивности и характеризует влияние тока на величину эдс, наводимой в первичной обмотке и наоборот.

Д ля цепей рис. 2.20 можно записать: (2.81)

Введем обозначения

; ; .

(2.82)

Тогда с учетом обозначений (2.82) выражение (2.81) принимает вид (2.83)

Выразим из второго уравнения (2.79) и подставим в первое откуда для амплитуды тока будем иметь , где (2.84)

Таким образом, влияние второго контура на первый выражается:

1. В увеличении эквивалентного активного сопротивления первого контура на величину R_вн за счет рассеяния части энергии источника на активном сопротивлении второго контура.

2. В измениении эквивалентного реактивного сопротивления первого контура на величину Х_вн, связанном с наводимой в нем эдс взаимной индукции.

Найдем комплексный коэффициент передачи, равный отношению напряжения на выходе к напряжению генератора (2.85)

Для упрощения вычислений в дальнейшем предположим, что контуры состоят из одинаковых элементов R, L, C и имеют поэтому равные собственные резонансные частоты ₀, т. е. _р1=_р2=₀. Исследуем свойства таких связанных контуров только в узкой полосе частот , т. е. L₀L=.

Используя эти допущения, а также формулы, связывающие добротность контура Q с затуханием d :Q=1/d=/ R , а также реактивную составляющую входного сопротивления X с характеристическим сопротивлением  и относительной расстройкой , X==2/₀, т. е. =2/₀ формулу (2.82) с использованием обозначений выражения (2.85) преобразуем к виду

.

(2.86)

Модуль этого выражения есть частотная характеристика связанных контуров.

.

(2.87)

Определим экстремальные точки частотной характеристики. Приравняем к 0 производную получаем уравнение для определения экстремальных точек.

, откуда

1=0,

(2.88)

Из точного определения : следует, что при малых расстройках частота  и резонансная частота ₀ связаны соотношением , т. е.

(2.89)

П одстановка в (2.89) значения  из (2.88) дает частоты, соответствующие экстремальным точкам частотной характеристики связанных контуров (2.90)

Таким образом, резонансная характеристика связанных контуров (рис. 2.21) может иметь один максимум на частоте ₀, если k_свd (кривые 1.2) и два максимума на частотах ₂ ₃ и минимум на частоте ₀ (при k_св>d кривая 2, 3). Переход от одного случая к другому имеет место при так называемой критической связи, когда k_св=d (кривая 2). Можно показать, что при критической связи относительная полоса пропускания такой системы в раз больше, чем у одиночного последовательного контура. В случае же сильной связи, когда имеет место оптимальная связь, т. е. когда , полоса пропускания втрое шире, чем в одиночном контуре.