13. Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений.

П оследовательный колебательный контур (рис. 2.12) образуется при последовательном включении емкости C, индуктивности L и генератора эдс e(t). Обычно для учета всех активных потерь в контуре на схемах включают эквивалентное сопротивление R. Будем считать в дальнейшем эдс гармонической и изменяющейся по частоте, а внутреннее сопротивление генератора R_i=0. В этом случае все частотные характеристики контура называются предельными. Влияние внутреннего сопротивления источника эдс на параметры контура будет рассмотрено дополнительно.

С учетом изложенного, для комплексных амплитуд цепи, изображенной на рис. 2.12 можно записать уравнение Кирхгофа (2.42)

Откуда (2.43)

В выражении (2.43): (2.44)

называют комплексным входным сопротивлением, в котором величина (2.45)

является реактивной составляющей Z(j). ФЧХ контура при этом определяется зависимостью (2.46)

Рассмотрим зависимость входного сопротивления последовательного колебательного контура от частоты генератора. На рис. 2.13 построены зависимости Х_L=L и (– Х_C)=1/C как функции частоты генератора, а также зависимость X=X_L+(-X_C). Как видно из рисунка, характер сопротивления контура определяется соотношением между Х_L и Х_C. Так для частот <₀ X_L<X_C – характер сопротивления контура емкостной, а при >₀ Х_L>Х_C и характер сопротивления контура индуктивный. С практической точки зрения случай =₀ когда X_L=X_C представляет наибольший и нтерес, поскольку соответствует условию резонанса. Итак, при резонансе Х=0, или отсюда и . Амплитуда тока при резонансе достигает максимума и равна I₀=E/R.

Амплитуды напряжений на L и C соответственно имеют значения т. е. напряжение на индуктивности и емкости при резонансе в последовательном контуре равны по модулю, сдвинуты по фазе на π и в Q раз больше, чем эдс источника.

Преобразуем реактивную составляющую входного сопротивления последовательного контура с учетом того, что ₀L= и ₀= 1/ . Тогда (2.47), а выражение для тангенса сдвига фаз (соотношение (2.46) принимает вид (2.48)

Параметр  в выражении (2.48) называется обобщенной расстройкой.

На практике наибольший интерес представляют характеристики контура в области частот, близких к резонансной ₀. В этом случае справедливо соотношение где  – абсолютная расстройка. Для области малых расстроек (выражения (2.45) и (2.46) принимают вид (2.49) (2.50)

на рис. 2.14 показаны зависимости (2.49) и (2.50). И тогда модуль входного сопротивления

Н ормированную частотную зависимость (резонансную кривую) тока в цепи последовательного колебательного контура можно получить делением I на I₀ и с учетом соотношений (2.47)-(2.50) имеет вид

(2.51)

На рис. 2.15 приведена зависимость (2.47) для разных Q, причем Q₁>Q₂>Q₃.

Найдем связь между полосой пропускания последовательного контура и его добротностью. Полагая, что мощность, поглощаемая в контуре при резонансе, уменьшается на границах его полосы пропускания в два раза, получим следующее выражение (2.52)

где 2 или 2f – полоса пропускания контура.

В реальных схемах сопротивление источника сигнала R_i0. Поэтому на эквивалентных схемах генератор обычно заменяют генератором с эдс e(t) и внутренним сопротивлением R_i. В этом случае схема последовательного контура принимает вид, представленный на рис. 2.15. Эквивалентная добротность такого контура (2.53)

Соответственно этому уравнение резонансной кривой нормированного тока такого контура имеет вид (2.54)

Сравнительный анализ выражений (2.53) и (2.40), а также соотношений (2.54) и (2.51) показывает, что различие между ними уменьшается, если R_i0. Это означает, что последовательный контур обладает наилучшими резонансными свойствами в том случае, если R_i<<R.