3. Определители квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратных матриц. Вычисление определителей. Свойства определителей.
Определители 2-го и 3-го порядков.
Будем рассматривать квадратные матрицы
Определители являются основными числовыми характеристиками квадратных матриц.
Определителем (детерминантом) матрицы,
состоящей из одного числа , называется само это число.
Определителем матрицы А= второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:
Рассмотрим матрицу третьего порядка:
Определителем матрицы A третьего порядка называется число
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
ри выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Пример 1. Составить минор , полученную из исходной матрицы:
Решение
Алгебраические дополнения
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:
то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.
Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы
Решение
Обратная матрица.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Свойства обратной матрицы.
, где det обозначает определитель.
(AB) − 1 = B − 1A − 1 для любых двух обратимых матриц A и B.
(AT) − 1 = (A − 1)T где * T обозначает транспонированную матрицу.
(kA) − 1 = k − 1A − 1 для любого коэффициента .
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A - 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Системы линейных уравнений. Основные понятия.
Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:
a11x1 + … + a1n xn = b1;
a21x1 + … + a2n x n = b2;
………………………………
am1x1+ … + amnxn = bm.
Здесь x1, …, xn - неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач.
Способы решения систем линейных уравнений - очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.