1.4.3 Математическое моделирование процессов радиационного теплообмена

Задачи теплообмена излучением по-прежнему остаются одними из наиболее трудоемких с вычислительной точки зрения. Для их решения предложено множество методов /124-152/, но, равно как и вышеназванные методы учета турбулентности и горения, ни один из них не может считаться универсальным.

Уравнение, описывающее перенос лучистой энергии, вывод которого можно найти, например, в /128/, является интегро-дифференциальным. В настоящее время аналитического решения задачи радиационного теплообмена для реальных систем не существует. По этой причине некоторые авторы тестируют те или иные методы косвенно, например, рассчитав и сравнив с точным решением угловые коэффициенты внутри параллелепипеда /150/. Не существует и надежных численных методов решения интегро-дифференциальных уравнений, в связи с чем приходится прибегать к аппроксимации интегро-дифференциального уравнения переноса лучистой энергии.

В зависимости от способа аппроксимации интегро-дифференциального уравнения лучистого переноса методы расчета радиационного теплообмена (РТО) можно условно разделить на дифференциальные и интегральные /131/. Отдельную группу составляют стохастические методы.

Среди интегральных методов наиболее разработанным на сегодняшний день является зональный метод и его модификации /130, 151 и др./. В основе этих методов лежит принцип выделения геометрических зон, в пределах которых температура и радиационные характеристики принимаются постоянными. При этом исходные интегральные уравнения радиационного переноса сводятся к системам алгебраических уравнений. Исторически сложилось так, что применительно к металлургической теплотехнике зональный метод используется в отечественной литературе чаще остальных. Объективности ради следует отметить одно его важное преимущество перед другими методами — физическую наглядность. Вместе с тем, в задачах расчета сложного теплообмена при наличии больших градиентов характеристик среды необходимо использовать мелкие сетки с большим числом узлов, что приводит к трудностям, связанным с вычислением большого числа угловых коэффициентов. Вычисление угловых коэффициентов представляет собой отдельную, порой довольно сложную задачу. Имеются и другие недостатки, присущие этому и другим интегральным методам.

Для решения интегрального уравнения радиационного теплообмена применяется также метод узловой аппроксимации, который сводится к обобщённому методу конечных элементов /143, 145, 146/. Основная идея этого метода заключается в том, что любую непрерывную величину можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. При этом интегральные уравнения аппроксимируются системами алгебраических уравнений. Этот метод является трудоемким и требует значительных машинных ресурсов.

Другие методы решения интегральных уравнений не получили особого распространения в теории лучистого теплообмена.

Развитие дифференциальных методов, ранее в основном имевших применение в астрофизике, в первую очередь связано с появлением универсальных коммерческих программно-вычислительных комплексов, в которых применяется отработанный математический аппарат (см. приложение 1) численного решения обобщенного уравнения переноса различных субстанций. Хотя уравнение переноса тепла излучением является интегро-дифференциальным и, конечно, не подчиняется обобщенному закону переноса, имеются и в данный момент уже широко используются аппроксимирующие методики /132-135/, позволяющие привести это уравнение к виду (1.1).

Применение дифференциальных методов связано с трудностями в выборе аппроксимации зависимости интенсивности излучения от направления. Обычно применяют два способа для решения данной проблемы. В первом случае интенсивность излучения представляют в виде дискретных потоков, с каждым из которых связано направление в пространстве. Наиболее применяемыми моделями этой группы являются метод дискретных ординат, метод контрольного объема и потоковый метод.

Потоковый метод основывается на аппроксимации Шустера–Шварцшильда для поглощающей, излучающей и рассеивающей среды. Для одномерного случая задача расчета РТО сводится к разбиению углового пространства переноса излучения на 2 телесных угла (по одному в положительном и отрицательном направлениях оси координат), в пределах каждого из которых величина интенсивности излучения предполагается постоянной. Кроме того, постулируется, что излучение распространяется только вдоль координатного направления, а рассеяние является изотропным. В этом случае интегро-дифференциальное уравнение переноса излучения преобразуется в систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений /128, 135 и др./. Процедура, позволяющая использовать подход Шустера–Шварцшильда для трех измерений (потоковый метод), описана Де Марко и Локвудом /152/. К достоинствам метода можно отнести простоту и получаемые удовлетворительные результаты. К недостаткам метода относится то, что двух направлений явно недостаточно для учета анизотропии излучения, а, кроме того, метод вызывает сложности применения в криволинейных системах координат.

Метод дискретных ординат впервые был предложен Чандрасекаром /124/ как обобщение метода Шустера–Шварцшильда и в дальнейшем нашел широкое применение для расчета процессов РТО /134, 140/. Суть этого метода заключается в том, что поле излучения разбивается на дискретное число потоков, с каждым из которых связано фиксированное направление. Для вычисления интегралов излучения используются квадратурные схемы с весовыми коэффициентами. В результате уравнение переноса заменяется системой дифференциальных уравнений, описывающих пространственные изменения интенсивности излучения в этих направлениях. Из-за появления «лучевого эффекта», заключающегося в некорректном описании фазовой функции (индикатрисы рассеяния), большинство конструкций квадратурных схем, т.е. значений весовых коэффициентов, не подходят для вычисления интегралов. В настоящее время отсутствуют какие-либо строгие математические принципы для нахождения значений весов. Это обстоятельство существенно снижает эффективность данного метода.

Проблема с выбором значений весовых коэффициентов решается естественным образом в предложенном в /132-135/ методе контрольного объема. В отличие от метода дискретных ординат в методе контрольного объема рассматривается перенос излучения не для фиксированных направлений, а для некоторого числа телесных углов. По сути, этот метод сочетает достоинства методов дискретных ординат и потокового — позволяет учесть анизотропию излучения и избежать нежелательного «лучевого эффекта». Вместе с тем, метод не лишен недостатков, основными из которых являются повышенная сложность, вызванная необходимостью интегрирования по каждому пространственному углу, а также трудность применения для систем со сложной геометрией.

Альтернативным вышеописанным методам (потоковому, дискретных ординат, контрольного объема) является подход, заключающийся в том, что угловая зависимость интенсивности аппроксимируется набором функций (обычно представленных в виде ряда), которые заданы во всем диапазоне телесных углов. Среди этих методов можно выделить метод сферических гармоник или P_N-аппроксимацию (см. главу 2).

Особую группу образуют стохастические и «гибридные» методы расчета РТО. Суть методов состоит в прослеживании изменения интенсивности испускаемых лучей при прохождении через контрольные объемы, находящиеся на пути движения. Наиболее применяемыми среди методов этой группы являются методы Монте-Карло /127/ и дискретного переноса /136/.