25. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она: 1) определена в точке ; 2) имеет конечный предел при и ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Определение. Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию .

Функция как отношение двух многочленов (которые представляют собой функции, непрерывные на всей плоскости) является непрерывной на всей плоскости, за исключением точки . В этой точке числитель равен единице, а знаменатель обращается в нуль и, следовательно, функция не определена.

26. Дифференцирование функций нескольких переменных.

Определение. Частной производной функции нескольких переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Пример. Найти частные производные , функции ; .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде .

Теорема. Если частные производные функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

27. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования.

Определение. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка:

, ,

, .

Пример. Найти частные производные второго порядка функции ; , , , , , .

28.Сложная функция двух переменных ее производная.

Если дифференцируемая функция аргументов и , а и дифференцируемые функции аргумента : , , то полная производная сложной функции находится по формуле .Если дифференцируемая функция аргументов и , а и дифференцируемые функции аргумента и : , , то частные производные сложной функции находится по формулам , .Пример. Дано , где , . Найти .

Так как , , , , тогда по формуле находим .

29. Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.

Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Так как , , то .

Пример. Найти в точке полный дифференциал функции заданной неявно.

, , , , , .

Пример. Найти дифференциал функции указанного порядка: .

1. , .

2. , , .

3. , , , .

Так как , то .