7. Предел функции. Теоремы о пределах.

Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ; ), что для всех таких, что , верно неравенство: .

Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ; ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: .

Теоремы о пределах:

Функция не может иметь более одного предела.

1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. .

2. Предел произведений конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. .

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е. .

4. Если , , то предел сложной функции .

5. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то .

Пример. Вычислить .

.

8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.

Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны меньших значений, то число называют левосторонним пределом функции в точке и пишут .

Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны больших значений, то число называют правосторонним пределом функции в точке и пишут .

Пример. Вычислить .

Пусть . Тогда при имеем: - отрицательная бесконечно малая функция, следовательно, и , отсюда .

Пусть . Тогда при имеем: - положительная бесконечно малая функция, следовательно, и , отсюда .

9. Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке (т.е. существует ); 2) имеет конечный предел функции при ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функция и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция непрерывны в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

3. Если функция непрерывны в точке , а функция непрерывны в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Пример. Функция задана кусочно аналитически, различными аналитическими выражениями для различных подобластей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют.

Так как , и , , т.е. , то в точке функция не является непрерывной.

Так как , и , , т.е. , то в точке функция непрерывна.

10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.

Определение. Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограниченна на этом отрезке.

2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения .

3. Если функция непрерывна на отрезке и значение ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что .

Пример. Доказать непрерывность функции .

Найдем . Так как , а , т.е. , то функция является непрерывной на всей числовой оси.