1. Последовательности. Определение,

способы задания, действия с последовательностями.

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность : .

Числа называются членами последовательности, а число - общим или членом последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

- 2, 4, 6, 8, …, , … (монотонная неограниченная),

- 1, 0, 1, 0, … (не монотонная, ограниченная).

Закон образования последовательности дается формулой его общего члена (одной или несколькими). Последовательность может быть сформирована также с помощью рекуррентного соотношения или словесного описания общего члена.

Пример. Дана формула общего элемента последовательности . Написать пять первых элементов последовательности.

Полагая последовательно в общем элементе получаем , , , , .

Действия с последовательностями:

-сложение последовательностей;

-вычитание последовательностей;

-умножение последовательностей;

-деление последовательностей.

2.Предел последовательности. Сходимость.

Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер (зависящий от , ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство: .

Предел числовой последовательности обозначается или при . Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.

Пример. Доказать, что для последовательности .

Пусть, например, . Тогда неравенство будет иметь вид или , т.е. выполняется при . Аналогично для при .

Для любого неравенство или выполняется при .

Итак, при любом существует такой номер (или равный целой части ), что для всех (при для , при для и т.д.) выполняется неравенство , а это и означает, что .

3.Свойства сходящихся последовательностей.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.

Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей.

1.Сходящаяся последовательность ограничена.

2.Пусть , , тогда , , , .

3.Если , и для всех выполняются неравенства , то .

4.Если и последовательность - ограниченная, то (произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая).

4. Признаки сходимости последовательностей.

Теорема. Если числовая последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Теорема. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при , то функция имеет тот же предел .