Пример 1

1-1/2+1/3-1/4+…=(-1)^n-1 - ряд лейб. типа, т.к. |an|=0 монотонно убываяпо признаку Лейбница ряд сх-ся. Ряд из модулей - расх-ся (гарм. ряд) значит данный ряд сх-ся неабс.

Пример 2

-1+3/2-1/3+3/4-1/5+3/6-1/7+…+(-1)ⁿ+…- зн. чер. ряд,|an|0, но не монотонно. Можно док-ть, что ряд расх-ся (пр-к Лейбница не выполнен).

Пример 3

Найти сумму ряда S=1-1/2³+1/3³-…+(-1)^n-1+… с точностью до=0,01. Это ряд лейб. типа и потому сх-ся. В кач. Приближённого значенияSвозьмёмS_n cтаким числомn слагаемых, чтобы остаток ряда|r_n|=|a_n+1+a_n+2+…|<, согл. следствию 3.5. |r_n||a_n+1|, поэт. достаточно потребовать|a_n+1|< и тогда|r_n|<, |a_n+1|<<0,01, приn=4 это выполняется, поэт. возьмёмS₄=1-1/2³+1/3³-1/4³ 0,896,S  0,896.

15. Свойства сходящихся рядов.

Обычные св-ва конеч. сумм – сочетательность, перем-ть не перенос. автом-ки на суммы рядов, т.к. при вычисл. суммы ряда добавл. новая операция переход к пределу.

Теор О сочетательности сх-ся ряда.

Сх-ть и сумма сх-ся ряда сохр-ся, если произв. образом объед. члены ряда в группы, сохраняя порядок членов: (а1+а2+…+аn)+(a_n+1+a_n+2+a_n+3)… ( b_k сх-ся к т.ж. сумме, что иan). Соч-ть в обр. порядке вообще говоря не имеет места. Напр.: (1-1)+(1-1)+…=0+0+… сх-ся: S=0, а после опускания скобок расх-ся (S1=1,S2=0,S3=1,S4=0; {Sn} не имеет предела).

16.Теор Дирихле о перестановочности абс. сх-ся ряда.

У абс. сх-ся ряда сх-ть и сумма сохр-ся при любой перест. членов.

Без док-ва

Теор Римана о неперестановочности неабс. сх-ся ряда.

В неабс. сх-ся ряде всегда можно так перест. члены, что ряд будет сх-ся к любой заранее ук-ой сумме и даже расх.

Можно док-ть, что 1-1/2+1/3-1/4+…=ln 2, а после перестановки 1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+1/5-1/10-1/12+1/7-…= 2ln 2. Т.о. неабс. сх-ть осущ-ся искл. благодаря взаим. Погашению пол-х и отр-х членов и именно потому зависит от порядка расположения этих членов. А когда абс. сх-ть зависит только от быстроты убывания членов, а от их порядка не зависит.

17. Функциональные ряды. Равном. сх-ть.

Функциональный ряд u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…= u_n(x) (1), гдеu_n(x) – ф-ии с некот. общей областью определения Х, при каждом конкретном хХ предст. собой числовой ряд, кот-й может сходиться или расх-ся.

Определение

Множество всех х при которых функ. ряд (1) сх-ся (т.е. получаются сх-ся числ. ряды) наз-ся областью сходимости функ. ряда.

Пример

1/х+1/х²+…+1/хⁿ+…=1/хⁿ(2). Возьмём 1/|х|ⁿ (3), к этому полож. ряду можно применить радик. признак Коши с(х)=lim =1/|x| ; при 1/|x|<1|x|>1 ряд (3) сх-сяряд (2) сх-ся (абс.). Пи 1/|x|>1|x|<1ряд (3) расх-ся, причёмlim 1/|x|ⁿ=+  lim 1/|x|ⁿ0 ряд (2) расх-ся. При|x|=1:lim 1/|x|ⁿ=1 lim 1/xⁿ0 ряд(2) расх-ся. Т.о. при |x|<1ряд (2) сх-ся, при всех ост. х – расх-ся. Область сх-ти]-,-1[]1,+[.Сх-ть ряда (1) при конкр. х, означает что числ. посл-тьSn(x)=u1(x)+…+un(x) имеет конечный пределS. Для различ. х этот пределSразный, т.е. явл-ся функцией от х: S=S(x). Эта функция наз-ся суммой функц. ряда. При конкретных хlim Sn(x)= S(x) означ. что (>0)( n_):(n> n_)[|S_n(x)-S(x)|<]или учитывая равенствоS(x)=Sn(x)+r_n(x),гдеr_n(x) – сумма n-го остатка ряда, (>0)( n_):(n> n_)[|S_n(x)-S(x)|= |r_n(x)|<]. Если >0задано, то для обеспечения нужного равенства|r_n(x)|<] при n> n_ x требуется свой номер n_ (т.е.n_ зависит не только от  но и от х). Но может оказаться, что  n_ годный сразу для всех х из ЕR.