Глава XII. Числовые и функциональные ряды. § 12.1. Числовые ряды.

Выражение вида:

, где

называется числовым рядом. Если , то ряд называется знакопеременным.

Сумма первых членов ряда называется частичной суммой:.

Ряд называется сходящимся, если существует , в противном случае – расходящимся. Ряды чаще всего исследуются на сходимость с помощью признаков сходимости.

Для знакопеременных рядов наиболее применимы следующие:

1. необходимый признак сходимости ряда:

если , то ряд расходится, при– ответ дать нельзя;

2. признак Даламбера:

3. признаки сравнения;

4. признак Коши: Если сходится, то и ряд сходится; если интеграл расходится, то и ряд расходится. Функциястроится по формуле– общего члена ряда:

,, … ,, …

Замечание:1. Ряд виданазывается гармоническим. Приряд сходится, при– расходится.

2. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится при, и расходится, если.

§ 12.2. Функциональные ряды.

Ряд Тейлора для функции :

Глава XIII. Аналитическая геометрия. § 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости.

Любая линия на плоскости задается уравнением . Для нахождения точек пересечения её с осью Ох надо решить уравнение, аналогично с осью Оу:. Если какое-либо из уравнений решений не имеет, то точек пересечения с соответствующей осью нет.

Для нахождения точек пересечения двух линий инеобходимо решить систему из уравнений, т.е.

Универсальным способом задания прямой на плоскости является общее уравнение прямой на плоскости: , где, одновременно не обращаются в ноль. Для описания не вертикальных прямых часто используется уравнение прямой с угловым коэффициентом:,. Если две прямые заданы уравнениями в этой форме, т.е.и, то они параллельны, если, и перпендикулярны при.

Любое алгебраическое уравнение второй степени относительно иописывает на плоскости кривую второго порядка.

К основным из них относятся:

1. окружность: ,

2. эллипс: ,

3. гипербола: ,или развернутая, когда асимптотами являются оси координат:,

4. парабола: или,.

§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору:

.

Уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору:

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,и, не лежащие на одной прямой:

Уравнения координатных плоскостей:

плоскость XOY~ ; плоскостьXOZ~ ; плоскостьYOZ~.

Глава XIV. Теория вероятностей. § 14.1. Случайные события.

Классическое определение вероятности:

Вероятностью события называется отношения числа благоприятных исходов событиюк общему числу равновозможных событий, образующих полную группу, т.е.

, при этом очевидно:.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.

События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

Теоремы сложения и умножения вероятностей:

– для независимых событийи.

– для зависимых событийи.

– для несовместных событийи.

– для совместных событийи.

§ 14.2. Случайные величины.

Полной характеристикой случайной величины является её функция распределения. Для дискретной случайной величины более удобной формой задания является ряд распределения:

– возможные значения случайной величины;

– вероятность того, что случайная величинапримет значение

В ряде задач бывает достаточно иметь не полную информацию о случайной величине, а только её основные числовые характеристики:

– математическое ожидание;– дисперсия;– среднеквадратическое отклонение.

Формулы для вычисления:

Для непрерывной случайной величины эти характеристики определяются через функцию плотности распределения

;

Для равномерно распределённой случайной величины функция плотности распределения имеет вид:

Для нормально распределённой случайной величины числовые характеристики являются параметрами плотности распределения:

;,

Для случайной величины распределенной по показательному закону (Пуассона):

;.

Свойства числовых характеристик:

1. ,1.,

2. 2.

3. 3.

независимы